Интеграл Дарбу

Интеграл Дарбу — один из способов обобщения интеграла Римана на любые ограниченные на отрезке функции. Различают верхний и нижний интеграл Дарбу. Интегралы Дарбу геометрически представляют собой верхнюю и нижнюю площадь под графиком.

Определение

Для определения интегралов Дарбу прежде необходимо ввести вспомогательное понятие сумм Дарбу.

Нижняя (зеленая) и верхняя (серая) суммы Дарбу на 4 отрезках разбиения

Пусть на отрезке $[a,b]$ определена функция вещественного переменного $f$.

Разбиением $\tau$ отрезка $[a,b]$ будем называть конечное множество точек этого отрезка, включающего в себя точки $a$ и $b$. Для удобства дальнейших записей будем вводить обозначения. Точки разбиения $\tau$ обозначим за $x_i$, причём пронумеруем их в порядке возрастания (начиная с нуля):

$\tau =\left\{x_0,\dots x_n\right\},a=x_0<x_1<\dots <x_{n-1}<x_n=b$.

Множество всех разбиений отрезка $[a;b]$ обозначим за $T$.

Частичным отрезком разбиения ${\mathrm{\Delta }}_i$ назовём отрезок $[x_{i-1},x_i]$.

${\mathrm{\Delta }}_i=[x_{i-1},x_i]$

Длину частичного отрезка разбиения обозначим за $\mathrm{\Delta }{x}_i$.

$\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$

Диаметром разбиения $d$ назовём максимальную длину частичного отрезка разбиения $\mathrm{\Delta }{x}_i$.

$d=\max \mathrm{\Delta }{x}_i$

Точные грани функции на частичных отрезках разбиения обозначим за $m_i$ и $M_i$.

$m_i=\underset{x\in {\mathrm{\Delta }}_i}{\inf }f(x)$,

$M_i=\underset{x\in {\mathrm{\Delta }}_i}{\sup }f(x)$.

Тогда, нижней суммой Дарбу $s(f,\tau )$ функции $f$ на разбиении $\tau$ называется

$s(f,\tau )=\sum _{i=1}^n{m}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$

Верхней суммой Дарбу $S(f,\tau )$ называется

$S(f,\tau )=\sum _{i=1}^n{M}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$

Тогда нижним интегралом Дарбу $I_{*}$ называется

$I_{*}=\underset{\tau \in T}{\sup }s(f,\tau )$

Верхним интегралом Дарбу $I^{*}$ называется

$I^{*}=\underset{\tau \in T}{\inf }S(f,\tau )$

Альтернативные определения

Существуют также альтернативные определения интегралов Дарбу. Обычно они доказываются как свойства.

• Нижний интеграл Дарбу есть предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть предел верхних.

$I_{*}=\underset{d(\tau )\to 0}{\lim }s(f,\tau )$

$I^{*}=\underset{d(\tau )\to 0}{\lim }S(f,\tau )$

• Нижний интеграл Дарбу есть нижний предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть верхний предел.

$I_{*}=\underset{d(\tau )\to 0}{\underset{―}{\lim }}\sigma (f,\tau ,\xi )$

$I^{*}=\underset{d(\tau )\to 0}{\bar{\lim }}\sigma (f,\tau ,\xi )$

Свойства

Свойства сумм Дарбу

• При любых произвольно взятых двух разбиениях одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.

$\mathrm{\forall }{\tau }_1,{\tau }_2\in Ts(f,{\tau }_1)\le S(f,{\tau }_2)$

• Нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние — снизу.

Поведение нижней (зеленая) и верхней (серая) сумм Дарбу на измельчении разбиения

• При добавлении к имеющемуся разбиению новых точек нижняя сумма Дарбу никак не может уменьшиться, а верхняя никак не может увеличиться.

$\begin{array}{r}s(f,{\tau }^{\prime })\ge s(f,\tau )\\ S(f,{\tau }^{\prime })\le S(f,\tau )\end{array}{\tau }^{\prime }$ — измельчение $\tau$.

Более того, изменению этих сумм можно дать следующую оценку.

Пусть d — диаметр $\tau$, измельчение ${\tau }^{\prime }$ — получено добавлением не более чем $l$ точек к $\tau$, $M$ и $m$ — точные грани функции $f$ на отрезке $[a;b]$. Тогда

$s(f,{\tau }^{\prime })-s(f,\tau )\le (M-m)ld$

$S(f,\tau )-S(f,{\tau }^{\prime })\le (M-m)ld$

• Пусть $\sigma (f,\tau ,\xi )$ — интегральная сумма. При любом произвольно взятом разбиении с отмеченными точками $(\tau ,\xi )$ верно следующее неравенство:

$s(f,\tau )\le \sigma (f,\tau ,\xi )\le S(f,\tau )$

• Суммы Дарбу есть точные грани интегральных сумм на данном разбиении. Пусть $\mathrm{\Xi }$ — множество всех возможных отмеченных точек на разбиении $\tau$. Тогда

$s(f,\tau )=\underset{\xi \in \mathrm{\Xi }}{\inf }\sigma (f,\tau ,\xi )$,

$S(f,\tau )=\underset{\xi \in \mathrm{\Xi }}{\sup }\sigma (f,\tau ,\xi )$.

Свойства интегралов Дарбу

• Для любой ограниченной на отрезке функции интегралы Дарбу существуют и конечны. Для неограниченной сверху функции верхний интеграл равен $+\mathrm{\infty }$, для неограниченной снизу нижний интеграл равен $-\mathrm{\infty }$.
• Для сумм и интегралов верны следующие неравенства

$s(f,\tau )\le I_{*}\le I^{*}\le S(f,\tau )$

• Основная лемма Дарбу. Предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции и равен нижнему интегралу Дарбу. Предел верхних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции существует и равен верхнему интегралу Дарбу.

$\mathrm{\exists }\underset{d(\tau )\to 0}{\lim }s(f,\tau )$ и $I_{*}=\underset{d(\tau )\to 0}{\lim }s(f,\tau )$

$\mathrm{\exists }\underset{d(\tau )\to 0}{\lim }S(f,\tau )$ и $I^{*}=\underset{d(\tau )\to 0}{\lim }S(f,\tau )$

Основная лемма Дарбу устанавливает эквивалентность первого и второго определения интегралов Дарбу.

• Критерий Дарбу. Интегрируемость по Риману на $[a;b]$ ограниченной на этом отрезке функции $f$ равносильна равенству верхнего и нижнего интегралов Дарбу на этом отрезке.

$f$ — интегрируема по Риману $\iff I_{*}=I^{*}$

Вариации и обобщения

Кратный интеграл Дарбу

По аналогии с кратным интегралом Римана можно определить и кратный интеграл Дарбу. Пусть $G$ — измеримое по Жордану множество, $\tau$ — его разбиение конечным числом измеримых по Жордану множеств. Обозначим множества этого разбиения за ${\mathrm{\Delta }}_i$.

$\tau =\left\{{\mathrm{\Delta }}_1,\dots {\mathrm{\Delta }}_n\right\}$

За $\mathrm{\Delta }{x}_i$ обозначим меру Жордана ${\mathrm{\Delta }}_i$.

Множество всех разбиений $G$ будем обозначать $T$.

Диаметр разбиения $d$ определим как максимум из диаметров множеств разбиения (диаметр множества разбиения — точная верхняя грань расстояний между его точками).

${\max }_{i=1}^n\underset{x,y\in {\mathrm{\Delta }}_i}{\sup }|x-y|$

Точные грани функции на множествах разбиения обозначим за $m_i$ и $M_i$.

$m_i=\underset{x\in {\mathrm{\Delta }}_i}{\inf }f(x)$,

$M_i=\underset{x\in {\mathrm{\Delta }}_i}{\sup }f(x)$.

Тогда, нижней суммой Дарбу $s(f,\tau )$ функции $f$ на разбиении $\tau$ называется

$s(f,\tau )=\sum _{i=1}^n{m}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$

Верхней суммой Дарбу $S(f,\tau )$ называется

$S(f,\tau )=\sum _{i=1}^n{M}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$

Тогда нижним интегралом Дарбу $I_{*}$ называется

$I_{*}=\underset{\tau \in T}{\sup }s(f,\tau )$

Верхним интегралом Дарбу $I^{*}$ называется

$I^{*}=\underset{\tau \in T}{\inf }S(f,\tau )$

Все вышеперечисленные свойства сумм Дарбу и интегралов Дарбу, а также альтернативные определения сохраняются.

Литература

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е изд., перераб.. — М.: МГУ, 1985. — 662 с. с.
• Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу: Учебник для университетов и пед. вузов. — М.: Высшая школа, 1999. — 695 с. с. — ISBN 5-06-003596-4.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. Том 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных (рус.). — М.: Дрофа, 2003. — 704 p.