Результант

В математике, результантом двух многочленов $P$ и $Q$ над некоторым полем $𝕂$ , старшие коэффициенты которых равны единице, называется выражение

r e s (P, Q) = \prod_{(x, y) : P (x) = 0, Q (y) = 0} (x - y),

иными словами, это произведение попарных разностей между их корнями. Произведение здесь берётся по всем корням в алгебраическом замыкании поля $𝕂$ с учётом их кратностей; поскольку получающееся выражение является симметрическим многочленом от корней многочленов $P$ и $Q$ (лежащих, быть может, вне поля $𝕂$ ), оно тем самым оказывается многочленом от коэффициентов $P$ и $Q$ . Для многочленов, старшие коэффициенты которых ( $p$ и $q$ соответственно) не обязательно равны 1, вышеупомянутое выражение умножается на

p^{\deg Q} q^{\deg P} .

Свойства и способы вычисления[править]

Основным свойством результанта (и его основным применением) является следующее: результант — многочлен от коэффициентов $P$ и $Q$ , равный нулю в том и только в том случае, когда у многочленов $P$ и $Q$ имеется общий корень (возможно, в некотором расширении поля $𝕂$ ).
Результант может быть найден как определитель матрицы Сильвестра.
Дискриминант — это, с точностью до знака, результант многочлена и его производной, поделённый на старший коэффициент многочлена; тем самым, дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда у многочлена есть кратные корни.
$r e s (P_{1} P_{2}, Q) = r e s (P_{1}, Q) r e s (P_{2}, Q)$
$r e s (P, const) = {const}^{\deg P}$
$r e s (A P (x), B Q (x)) = A^{\deg Q} B^{\deg P} r e s (P (x), Q (x))$
Если $A, C \neq 0, \deg (A P (x) + B Q (x)) = \deg (C P (x) + D Q (x)) = n ⩾ 1$ , то

r e s (A P (x) + B Q (x), C P (x) + D Q (x)) = (A D - B C)^{n} r e s (P (x), Q (x))

$r e s (P, Q) = 0 \Leftrightarrow \deg \gcd (P, Q) ⩾ 1$ , т.е. результант тогда и только тогда равен нулю, когда НОД многочленов нетривиален. Вообще, вычисление результанта может быть произведено с помощью алгоритма Евклида, и именно так вычисляется результант в различных матпакетах.
Для многочленов $P (x), Q (x)$ существуют многочлены $U (x), V (x)$ с $\deg U ⩽ \deg P - 1, \deg V ⩽ \deg Q - 1$ такие, что

r e s (P (x), Q (x)) = P (x) V (x) + Q (x) U (x)

. Многочлены

U (x), V (x)

с

m = \deg U, n = \deg V

могут быть получены из представления результанта определителем в форме Сильвестра, в котором последний столбец заменен на

(x^{m}, . . ., x, 1, 0, . . ., 0)^{T}

для

U (x)

или на

(0, . . ., 0, x^{n}, . . ., x, 1)^{T}

для

V (x)

.

Для сепарабельного многочлена (в частности, для полей характеристики нуль) результант равен произведению значений одного из многочленов по корням другого (как и раньше, произведение берётся с учётом кратности корней):

r e s (P, Q) = \prod_{P (x) = 0} Q (x) .

Литература[править]

Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.
Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. — СПбГУ, НИИ химии, 2002.

Ссылки[править]

Статья Weisstein, Eric W. «Resultant» на сайте «MathWorld».