Дискриминант

Дискримина́нт многочлена — математическое понятие (в алгебре), обозначаемое буквами D или Δ.

Для многочлена $p(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$, $a_n\ne 0$, его дискриминант есть произведение

$D(p)=a_n^{2n-2}\prod _{i<j}({\alpha }_i-{\alpha }_j{)}^2$,

где ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена, знак которого определяет количество действительных корней.

Свойства

• Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
• Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
• $D(p)=\frac{(-1{)}^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p^{\prime })$, где $R(p,p^{\prime })$ — результант многочлена $p(x)$ и его производной $p^{\prime }(x)$.

Примеры

Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.

Многочлен второй степени

Дискриминант квадратного трёхчлена $a{x}^2+bx+c$ равен $D=b^2-4ac.$

• При $D>0$ трёхчлен будет иметь два вещественных корня:

  $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{2c}{-b\mp \sqrt{D}}.$

• При $D=0$ — один корень кратности 2 (другими словами, два одинаковых корня):

  $x=-\frac{b}{2a}.$

• При $D<0$ вещественных корней нет, однако есть два комплексно-сопряженных корня, выражающиеся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать так, чтобы она не содержала отрицательного подкоренного выражения, следующим образом:

  $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}.$

  $x_{1,2}=\frac{2c}{-b\pm \sqrt{D}}=\frac{2c}{-b\pm i\sqrt{|D|}}.$

Многочлен третьей степени

Дискриминант кубического многочлена $a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ равен

$D=b^2{c}^2-4a{c}^3-4b^{3}d-27a^2{d}^2+18abcd=27(6a\frac{b}{3}\frac{c}{3}d-4(a{\left(\frac{c}{3}\right)}^3+{\left(\frac{b}{3}\right)}^{3}d)+3{\left(\frac{b}{3}\right)}^2{\left(\frac{c}{3}\right)}^2-a^2{d}^2).$

В частности, дискриминант кубического многочлена $x^3+px+q$ (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен $-4p^3-27q^2=-108({\left(\frac{p}{3}\right)}^3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2).$.

• При $D>0$ кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
• При $D=0$ он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
• При $D<0$ кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряжёнными).

Многочлен четвёртой степени

Дискриминант многочлена четвёртой степени $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$ равен

$\begin{array}{rl}D& =256a^3{e}^3-192a^{2}bd{e}^2-128a^2{c}^2{e}^2+144a^{2}c{d}^{2}e-27a^2{d}^4+\\ & +144a{b}^{2}c{e}^2-6a{b}^2{d}^{2}e-80ab{c}^{2}de+18abc{d}^3+16a{c}^{4}e-\\ & -4a{c}^3{d}^2-27b^4{e}^2+18b^{3}cde-4b^3{d}^3-4b^2{c}^{3}e+b^2{c}^2{d}^2.\end{array}$

Для многочлена $x^4+q{x}^2+rx+s$ дискриминант имеет вид

$\begin{array}{rl}D& =256s^3-128q^2{s}^2+144q{r}^{2}s-27r^4+16q^{4}s-4q^3{r}^2=\\ & =256(s^3-18{\left(\frac{q}{6}\right)}^2{s}^2-27{\left(\frac{r}{4}\right)}^4-54{\left(\frac{q}{6}\right)}^3{r}^2+54\left(\frac{q}{6}\right){\left(\frac{r}{4}\right)}^{2}s+81{\left(\frac{q}{6}\right)}^{4}s).\end{array}$

и равенство $D=0$ определяет в пространстве $(q,r,s)$ поверхность, называемую ласточкиным хвостом.

• При $D<0$ многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
• При $D>0$ многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.

А именно, для многочлена $x^4+q{x}^2+rx+s$:

• если $q⩾0$, то все корни комплексные;
• если $q<0$ и $s>\frac{q^2}{4}$, то все корни комплексные;
• если $q<0$ и $s<\frac{q^2}{4}$, то все корни вещественные.

• При $D=0$ многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряжённых кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.

Точнее:

• если $q<0$ и $s>\frac{q^2}{4}$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
• если $q<0$ и $-\frac{q^2}{12}<s<\frac{q^2}{4}$, то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2;
• если $q<0$ и $s=\frac{q^2}{4}$, то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2;
• если $q<0$ и $s=-\frac{q^2}{12}$, то два вещественных корня, один из которых кратности 3;
• если $q>0$, $s>0$ и $r\ne 0$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
• если $q>0$, $s=\frac{q^2}{4}$ и $r=0$, то одна пара комплексно сопряжённых корней кратности 2;
• если $q>0$ и $s=0$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
• если $q=0$ и $s>0$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
• если $q=0$ и $s=0$, то один вещественный корень кратности 4.

История

Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл английский математик XIX века Джеймс Джозеф Сильвестр.

См. также

• Результант

Литература

• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.