Особая точка кривой

Особая точка кривой — точка, в окрестности которой не существует гладкой параметризации. Точное определение зависит от типа изучаемой кривой.

Алгебраические кривые на плоскости[править]

Алгебраическую кривую на плоскости можно определить как множество точек $(x, y)$ , удовлетворяющих уравнению вида $f (x, y) = 0$ , где $f (x, y)$ — полиномиальная функция $f : ℝ^{2} \to ℝ$ :

f = a + b_{1} x + b_{2} y + c_{1} x^{2} + 2 c_{2} x y + c_{3} y^{2} + \dots

.

Если начало координат $(0, 0)$ принадлежит кривой, то $a = 0$ . Если $b_{2} = 0$ , то теорема о неявной функции гарантирует существование гладкой функции $g$ , такой что кривая принимает вид $y = g (x)$ в окрестности начала координат. Аналогично, если $b_{1} = 0$ , то существует такая функция $h$ , что кривая удовлетворяет уравнению $x = h (y)$ в окрестности начала координат. В обоих случаях существует гладкое отображение $ℝ \to ℝ$ , которое определяет кривую в окрестности начала координат. Заметим, что в окрестности начала координат

b_{1} = \frac{\partial f}{\partial x}, b_{2} = \frac{\partial f}{\partial y} .

Особые точки кривой — это те точки кривой, в которых обе производные обращаются в ноль:

f (x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = 0 .

Регулярные точки[править]

Пусть кривая проходит через начало координат. Положив $y = m x$ , можно представить $f$ в виде

f = (b_{1} + b_{2} m) x + (c_{1} + 2 c_{2} m + c_{3} m^{2}) x^{2} + \dots

.

Если $b_{1} + b_{2} m = 0$ , то уравнение $f = 0$ имеет решение кратности 1 в точке $x = 0$ и начало координат является точкой одиночного контакта кривой с прямой $y = m x$ . Если $b_{1} + b_{2} m = 0$ , то $f = 0$ имеет в точке $x = 0$ решение кратности 2 или выше и прямая $y = m x$ является касательной к кривой. В этом случае, если $c_{1} + 2 c_{2} m + c_{3} m^{2} = 0$ , кривая имеет двойной контакт с прямой $y = m x$ . Если $c_{1} + 2 c_{2} m + c_{3} m^{2} = 0$ , а коэффициент при $x^{3}$ не равен нулю, то начало координат является точкой перегиба кривой. Это рассуждение может быть применено к любой точке кривой путём переноса начала координат в заданную точку.^[1]

Двойные точки[править]

Три улитки Паскаля иллюстрируют типы двойных точек. Левая кривая имеет изолированную точку в начале координат. Центральная кривая, кардиоида, имеет касп в начале координат. Правая кривая имеет в начале координат точку самопересечения, образуя петлю.

Если в вышеприведённом уравнении $b_{1} = 0$ и $b_{2} = 0$ , но по крайней мере одна из величин $c_{1}$ , $c_{2}$ или $c_{3}$ не равна нулю, то начало координат называется двойной точкой кривой. Снова положим $y = m x$ , тогда $f$ примет вид

f = (c_{1} + 2 c_{2} m + c_{3} m^{2}) x^{2} + (d_{1} + 3 d_{2} m + 3 d_{3} m^{2} + d_{4} m^{3}) x^{3} + \dots .

Двойные точки можно классифицировать по корням уравнения $c_{1} + 2 c_{2} m + c_{3} m^{2} = 0$ .

Точки самопересечения[править]

Если уравнение $c_{1} + 2 c_{2} m + c_{3} m^{2} = 0$ имеет два вещественных решения по $m$ , то есть, если $c_{2}^{2} - c_{1} c_{3} > 0$ , то начало координат называется точкой самопересечения^[англ.]. Кривая в этом случае имеет две различные касательные, соответствующие двум решениям уравнения $c_{1} + 2 c_{2} m + c_{3} m^{2} = 0$ . Функция $f$ в этом случае имеет седловую точку в начале координат.

Изолированные точки[править]

Если уравнение $c_{1} + 2 c_{2} m + c_{3} m^{2} = 0$ не имеет вещественных решений по $m$ , то есть, если $c_{2}^{2} - c_{1} c_{3} < 0$ , то начало координат называется изолированной точкой. На вещественной плоскости начало координат окажется изолировано от кривой, однако на комплексной плоскости начало координат изолировано не будет и будет иметь две мнимых касательных, соответствующих двум мнимым решениям уравнения $c_{1} + 2 c_{2} m + c_{3} m^{2} = 0$ . Функция $f$ в этом случае имеет локальный экстремум в начале координат.

Каспы[править]

Если уравнение $c_{1} + 2 c_{2} m + c_{3} m^{2} = 0$ имеет одно вещественное решение по $m$ кратности 2, то есть, если $c_{2}^{2} - c_{1} c_{3} = 0$ , то начало координат называется каспом, или точкой возврата. Кривая в этом случае в особой точке меняет направление, образуя остриё. Кривая в начале координат имеет единственную касательную, что можно трактовать как две совпадающие касательные.

Дальнейшая классификация[править]

Термин узел (англ. node) используется как общее название для изолированных точек и точек самопересечения. Число узлов и число каспов кривой являются двумя инвариантами, используемыми в формулах Плюккера.

Если одно из решений уравнения $c_{1} + 2 c_{2} m + c_{3} m^{2} = 0$ является также решением уравнения $d_{1} + 3 d_{2} m + 3 d_{3} m^{2} + d_{4} m^{3} = 0$ , то соответствующая ветвь кривой имеет перегиб в начале координат. В этом случае начало координат называется точкой самокасания. Если обе ветви имеют это свойство, то $c_{1} + 2 c_{2} m + c_{3} m^{2}$ является делителем $d_{1} + 3 d_{2} m + 3 d_{3} m^{2} + d_{4} m^{3}$ , и начало координат называется биффлектоидальной точкой (точкой двойного соприкосновения).^[2]

Многократные точки[править]

В общем случае при равенстве нулю всех членов со степенью, меньшей $k$ , и при условии, что хотя бы один член со степенью $k$ не равен нулю, говорят, что кривая имеет многократную точку порядка k. В этом случае кривая имеет $k$ касательных в начале координат, но некоторые из них могут быть мнимыми или совпадать.^[3]

Параметрические кривые[править]

Параметрическая кривая в R² определяется как образ функции g: R → R², g(t) = (g₁(t), g₂(t)). Особые точки такой кривой — это точки, в которых

\frac{d g_{1}}{d t} = \frac{d g_{2}}{d t} = 0 .

Многие кривые можно задать в обоих видах, но эти два задания не всегда согласуются. Например, касп можно найти как у алгебраической кривой x³−y² = 0, так и параметрической кривой g(t) = (t², t³). Оба задания кривой дают особую точку в начале координат. Однако точка самопересечения^[англ.] кривой y²−x³−x² = 0 в начале координат является особой для алгебраической кривой, но при параметрическом задании g(t) = (t²−1,t(t²−1)) пара производных g′(t) никогда не обращается в ноль, а потому точка не является особой в вышеуказанном смысле.

Следует соблюдать осторожность при выборе параметризации. Например, прямую y = 0 можно задать параметрически как g(t) = (t³, 0) и она будет иметь особую точку в начале координат. Если же её же параметризовать как g(t) = (t, 0), она не будет иметь особых точек. Таким образом, технически более корректно говорить об особых точках гладкого отображения, а не об особых точках кривой.

Вышеуказанные определения можно распространить на неявные кривые, которые можно определить как множество нулей f⁻¹(0) произвольной гладкой функции. Определения также можно распространить на кривые в пространствах более высоких размерностей.

Согласно теореме Хасслера Уитни,^[4]^[5] любое замкнутое множество в Rⁿ является множеством решений f⁻¹(0) для некоторой гладкой функции f: Rⁿ → R. Следовательно, любая параметрическая кривая может быть задана как неявная кривая.

Типы особых точек[править]

Примеры особых точек различных типов:

Изолированная точка: x²+y² = 0,
Пересечение двух прямых^[англ.]: x²−y² = 0,
Касп (точка возврата): x³−y² = 0,
Клювообразный касп: x⁵−y² = 0.

См. также[править]

Примечания[править]

↑ Hilton Chapter II § 1
↑ Hilton Chapter II § 2
↑ Hilton Chapter II § 3
↑ Brooker and Larden. Differential Germs and Catastrophes. — London Mathematical Society. Lecture Notes 17. Cambridge. — 1975.
↑ Bruce and Giblin, Curves and singularities, (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9, ISBN 0-521-42999-4 (paperback)

Литература[править]

Harold Hilton. Plane Algebraic Curves. — Oxford, 1920.

[1] Hilton Chapter II § 1

[2] Hilton Chapter II § 2

[3] Hilton Chapter II § 3

[4] Brooker and Larden. Differential Germs and Catastrophes. — London Mathematical Society. Lecture Notes 17. Cambridge. — 1975.

[5] Bruce and Giblin, Curves and singularities, (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9, ISBN 0-521-42999-4 (paperback)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]