Объединение множеств

Объединение A и B

Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств $A$ и $B$ обычно обозначается $A$ ∪ $B$, но иногда можно встретить запись в виде суммы $A+B$.

Определения

Объединение двух множеств

Пусть даны два множества $A$ и $B$. Тогда их объединением называется множество

$A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}.$

Объединение семейства множеств

Пусть дано семейство множеств $\{M_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}.$ Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

$\bigcup _{\alpha \in A}{M}_{\alpha }=\{x\mid \mathrm{\exists }\alpha \in A,x\in M_{\alpha }\}.$

Свойства

• Объединение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане $2^X;$
• Операция объединения множеств коммутативна:

  $A\cup B=B\cup A;$

• Операция объединения множеств ассоциативна:

  $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C);$

• Операция объединения множеств дистрибутивна относительно операции пересечения:

  $\left(\bigcap _k{A}_k\right)\cup B=\bigcap _k(A_k\cup B)$

• Пустое множество $X$ является нейтральным элементом операции объединения множеств:

  $A\cup \mathrm{\varnothing }=A;$

• Таким образом булеан вместе с операцией объединения множеств является моноидом;
• Операция объединения множеств идемпотентна:

  $A\cup A=A.$

Примеры

• Пусть $A=\{1,2,3,4,5\},B=\{3,4,5,6,7,8\}.$ Тогда

$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\};$

• $\bigcup _{n\in \mathbb{\mathbb{Z}}}[n,n+1]=\mathbb{ℝ}.$

См. также

• Дизъюнктное объединение
• Операции над множествами