Булеан

Булеан (степень множества, показательное множество, множество частей) — множество всех подмножеств данного множества $A$ (включая нулевое и само множество А), обозначается $𝒫 (A)$ или $2^{A}$ (так как оно соответствует множеству отображений из $A$ в ${0, 1}$ ).

Если два множества равномощны, то равномощны и их булеаны. Обратное утверждение (то есть инъективность операции $κ \mapsto 2^{κ}$ для кардиналов) является независимым от ZFC.

В категории множеств можно снабдить функцию $𝒫$ структурой ковариантного или контравариантного функтора следующим образом:

ковариантный функтор отображает функцию $f : A \to B$ в функцию $𝒫 f : 𝒫 A \to 𝒫 B$ такую, что она отображает $X$ в образ $X$ относительно $f$ ;
контравариантный функтор отображает функцию $f : A \to B$ в $𝒫 f : 𝒫 B \to 𝒫 A$ такую, что она отображает $X$ в полный прообраз $X$ относительно $f$ .

Открытая математическая проблема: cуществуют ли такие бесконечные множества $A$ и $B$ , что мощность множества $A$ меньше мощности множества $B$ и мощность множества $B$ меньше мощности множества всех подмножеств множества $A$ : $| A | < | B | < | 2^{A} |$ ?^[1]

Мощность конечного булеана[править]

Число подмножеств конечного множества, состоящего из $n$ элементов, равно $2^{n}$ .

Доказательство — методом математической индукции. База: у пустого множества $\emptyset$ ( $n = 0$ ) только одно подмножество — оно само, и $2^{0} = 1$ . Шаг индукции: пусть утверждение верно для множеств мощности $n$ . Рассмотрим произвольное множество $M$ с кардинальным числом $n + 1$ ; зафиксировав некоторый элемент $a_{0} \in M$ . Подмножества множества $M$ разделяются на два семейства:

$M_{1}$ , содержащие $a_{0}$ ,
$M_{2}$ , не содержащие $a_{0}$ , то есть являющиеся подмножествами множества $M ∖ {a_{0}}$ .

Подмножеств второго типа по предположению индукции $2^{n}$ , подмножеств первого типа ровно столько же, так как каждое подмножество такого типа получается из ровно одного подмножества второго типа добавлением элемента $a_{0}$ и, следовательно:

2^{M} = M_{1} ⋃ M_{2}

и

M_{1} ⋂ M_{2} = \emptyset

.

По индукционному предположению $| M_{1} | = 2^{n}$ и $| M_{2} | = 2^{n}$ , то есть:

| 2^{M} | = | M_{1} | + | M_{2} | = 2^{n} + 2^{n} = 2^{n + 1} = 2^{| M |}

.

См. также[править]

Примечания[править]

↑ Брудно, 1971, с. 34.

Литература[править]

Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1971. — 119 с.

[_46c665f65fc6a745-1] Брудно, 1971, с. 34.

[1]