Нуль функции

Нули косинуса на интервале [-2π,2π] (красные точки)

Нуль функции в математике — элемент из области определения функции, в котором она принимает нулевое значение. Например, для функции $f$, заданной формулой

$f(x)=x^2-6x+9.$

$x=3$ является нулём, поскольку

$f(3)=3^2-6\cdot 3+9=0$.

Понятие нулей функции можно рассматривать для любых функций, область значений которых содержит нуль или нулевой элемент соответствующей алгебраической структуры.

Для функции действительного переменного $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ нулями являются значения, в которых график функции пересекает ось абсцисс.

Нахождение нулей функции часто требует использования численных методов (к примеру, метод Ньютона, градиентные методы).

Одной из нерешённых математических проблем является нахождение нулей дзета-функции Римана.

Корень многочлена

Основная статья: Корень многочлена

Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен степени n имеет n комплексных корней, с учётом их кратности. У кубического уравнения, как показано выше, всегда три комплексных корня, с учётом кратности. Все мнимые корни многочлена, если они есть, всегда входят сопряжёнными парами, только если все коэффициенты многочлена вещественны. Каждый многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень. Связь между корнями многочлена и его коэффициентами устанавливает теорема Виета.

Комплексный анализ

Простой нуль голоморфной в некоторой области $G\subset \mathbb{ℂ}$ функции $f$ — точка $z_0\in G$, в некоторой окрестности которой справедливо представление $f(z)=(z-z_0)g(z)$, где $g$ голоморфна в $z_0$ и не обращается в этой точке в нуль.

Нуль порядка $k$ голоморфной в некоторой области $G\subset \mathbb{ℂ}$ функции $f$ — точка $z_0\in G$, в некоторой окрестности которой справедливо представление $f(z)=(z-z_0{)}^{k}g(z)$, где $g$ голоморфна в $z_0$ и не обращается в этой точке в нуль.

Нули голоморфной функции изолированы.

Другие специфические свойства нулей комплексных функций выражаются в различных теоремах:

• теорема Руше,
• теорема Мардена,
• Теорема Гаусса — Люка

История

Кубические уравнения

Исторически к появлению понятия мнимых чисел привело решение уравнений 3-й степени с тремя разными действительными корнями. По формуле Кардано все три корня $x$ уравнения $x^3+kx+l=0$ равны

${\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)}^{n}C+\frac{-k}{3}{\left[{\left(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)}^{n}C\right]}^{-1},$

где $C^3=\frac{-l}{2}\pm \sqrt{\frac{l^2}{4}+\frac{k^3}{27}}$ (на месте плюс-минуса подходят оба знака, если только C не обращается в 0), $n\in \{0,1,2\},$ а ${\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}^n$ — это все возможные комплексные корни 3-й степени из 1, а именно $1$ и $\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.$

• Если число $\frac{l^2}{4}+\frac{k^3}{27}$ под квадратным корнем меньше нуля, а k и l вещественны, то ${\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}^{n}C$ и $\frac{-k}{3}{\left({\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}^{n}C\right)}^{-1}$ — невещественные сопряжённые числа, а значит, при их сложении получатся три разных вещественных корня кубического уравнения.
• Если $\frac{l^2}{4}+\frac{k^3}{27}$ равняется нулю, то кубическое уравнение имеет один трёхкратный корень или два различных корня, один из которых двукратен.
• Если же $\frac{l^2}{4}+\frac{k^3}{27}$ больше нуля, а k и l действительны, то одно из чисел ${\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}^{n}C$ является действительным, однако ${\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}^{n}C$ и $\frac{-k}{3}{\left({\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}^{n}C\right)}^{-1}$ уже не сопряжены: у них разные модули, — и в итоге у кубического уравнения только один вещественный корень, а остальные два — нет.

$-108(\frac{l^2}{4}+\frac{k^3}{27})$ — это дискриминант уравнения $x^3+kx+l=0,$ знак которого как раз определяет вещественность и кратность корней.

На первый взгляд, в 1-м и 3-м пунктах изложены парадоксальные случаи. Эта странность была разрешена и обоснована Рафаэлем Бомбелли и позволила ему полноценно легализовать мнимые числа, а также отрицательные числа, которые до него в Европе не были признаны.

Литература

• Нуль функции — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Weisstein, Eric W. Root (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.