Многочлен

Запрос «Полином» перенаправляется сюда; о гидроакустической станции см. Полином (гидроакустическая станция).

График многочлена 7 степени.

Многочле́н (или полино́м от греч. πολυ- «много» + лат. nomen «имя») от $n$ переменных $x_1,x_2,...x_n$— это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида

$P(x_1,\dots ,x_n)=\sum _I{c}_I{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}$, где

• $I=(i_1,i_2,\dots ,i_n)$ — набор из $n$ целых неотрицательных чисел, именуемый мультииндексом,
• $c_I$ — число, именуемое коэффициентом многочлена, зависящее только от мультииндекса ${I}$.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

$P(x)=c_0+c_1{x}^1+\dots +c_m{x}^m$, где

• $c_i$ — фиксированные коэффициенты,
• $x$ — переменная.

С помощью многочлена вводятся понятия «алгебраическое уравнение», «алгебраическая функция» и «алгебраическое число».

Изучение и применение

Графики многочленов Бернулли

Изучение полиномиальных уравнений и их решений долгое время составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».

С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в математическом анализе.

Благодаря тому, что вычисления, связанные с многочленами, просты по сравнению с более сложными классами функций, а также тому факту, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационную теорему Вейерштрасса), были развиты методы разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии. Её ключевым объектом являются множества, определённые как решения систем полиномиальных уравнений.

Особые свойства преобразования коэффициентов при перемножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения при помощи многочленов свойств различных объектов.

Связанные определения

• Многочлен вида $c{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}$ называется одночленом или мономом мультииндекса $I=(i_1,\dots ,i_n)$.
• Одночлен, соответствующий мультииндексу $I=(0,\dots ,0)$ называется свободным членом.
• Полной степенью (ненулевого) одночлена $c_I{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}$ называется целое число $|I|=i_1+i_2+\dots +i_n$.
• Множество мультииндексов ${I}$, для которых коэффициенты $c_I$ ненулевые, называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка — многогранником Ньютона.
• Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов. Степень тождественного нуля либо принимается неопределённой, либо доопределяется значением $-1$ или $-\mathrm{\infty }$ (см. степень нулевого многочлена).
• Многочлен, являющийся суммой двух мономов, называется двучленом или биномом,
• Многочлен, являющийся суммой трёх мономов, называется трёхчленом или триномом.
• Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца $R$ (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом $R$ без делителей нуля) которое обозначается $R[x_1,x_2,\dots ,x_n]$.
• Для многочлена $p(x)$ одной переменной, решение уравнения $p(x)=0$ называется его корнем.

Полиномиальные функции

Пусть $A$ — алгебра над кольцом $R.$ Произвольный многочлен $p(x)\in R[x_1,x_2,\dots ,x_n]$ определяет полиномиальную функцию

$p_R:A\to A.$

Чаще всего рассматривают случай $A=R.$

В случае, если $R$ — поле вещественных или комплексных чисел (или любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция $f_p:R^n\to R$ полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены $p_1(x)\equiv x$ и $p_2(x)\equiv x^2$ из ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_2[x]$ определяют тождественно равные функции ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_2\to {\mathbb{\mathbb{Z}}}_2$.

Полиномиальная функция одного действительного переменного называется целой рациональной функцией. Она относится к элементарным функциям.

Виды многочленов

• Многочлен одной переменной называется унитарным, нормированным или приведённым, если его старший коэффициент равен единице.
• Многочлен, все одночлены которого имеют одну и ту же полную степень, называется однородным.
  • Например $x^2+xy+y^2$ — однородный многочлен двух переменных, а $x^2+y+1$ не является однородным.
• Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

Свойства

• Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.
• Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.
• Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, то есть любой его идеал может быть порождён одним элементом.
  • Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.
• Теорема о рациональных корнях.

Делимость

Встречается также вариант написания: Деление многочленов столбиком.

Если $A$ - многочлен, $B$ - отличный от нуля многочлен, тогда существуют такие многочлены $P$ и $Q$, что $A=PB+Q$, и $Q$ равен нулю или имеет степень меньшую чем у $B$. Многочлены $P$ и $Q$ являются единственными возможными.

Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение многочленов $pq$ делится на неприводимый многочлен $\lambda$, то p или q делится на $\lambda$. Каждый многочлен степени большей нуля разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен $x^4-2$, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного $x$ разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого $n>2$ существуют многочлены от $n$ переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Алегбраические операции с многочленами

Умножение

Умножение многочленов основывается на общем принципе, что произведение сумм равно сумме всех произведений $PQ$, где $P$ - член (слагаемое) первого многочлена, $Q$ - член второго многочлена. Таким образом, если $A$ - многочлен Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle a_0+a_1x+ · · · +a_nx^n} , а $B$ - многочлен Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle b_0+b_1x+ · · · +b_mx^m} , тогда их произведение $AB$ это многочлен Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle c_0+c_1x+ · · · + c_{m+n}x^{m+n}} , где $c_i$ это сумма всех произведений $a_p{b}_q$ такая, что $p+q=i$.

Такая операция умножения многочленов заключается в умножении каждого слагаемого $a_p{x}^p$ многочлена $A$ на каждое слагаемое $b_q{x}^q$ многочлена $B$, так чтобы это умножение удовлетворяло форме $a_p{b}_q{x}^{p+q}$, и для каждого $i$ от $0$ до $n+m$ объединения этих произведений в один член (слагаемое), в котором все мономы имеют вид $a_p{b}_q{x}^{p+q}$ в котором $p+q=i$. Каждый член (слагаемое) произведения многочленов приобретет следующий вид Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle (a_0b_i+a_1b_{i-1} + · · · +a_ib_0)x^i} , следует учитывать, что для значений $i$ больших $n$ или $m$ некоторых слагаемых этого выражения может и не оказаться.

Пример умножения многочленов

Например, если

$$\begin{array}{rl}A& =5+2x+3x^2\\ B& =1+3x+6x^2\end{array}$$

то

$$\begin{array}{rccrcr}AB& =(5\cdot 1)& +& (5\cdot 3+2\cdot 1)\cdot x& +& (5\cdot 6+2\cdot 3+1\cdot 3)\cdot x^2\\ & & +& (2\cdot 6+3\cdot 3)\cdot x^3& +& (3\cdot 6)\cdot x^4\\ & & =& 5+17x+39x^2+21x^3+18x^4\end{array}$$

Вариации и обобщения

• Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется Многочлен Лорана.
• Квазимногочлен
• Тригонометрический многочлен
• Степенной ряд

См. также

• Базис Грёбнера
• Позином
• Сплайн
• Теорема Гаусса — Люка

Литература

• Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 9 изд. — М., 1968.
• Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра, 2 изд. — М., 1965.
• Солодовников А. С, Родина М. А. Задачник-практикум по алгебре. — М.: Просвещение, 1985. — 127 с.
• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.
• Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М., 1977.

Ссылки

• Многочлен / А. И. Маркушевич // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.