Метод трапеций

Аппроксимация функции линейной зависимостью при интегрировании методом трапеций

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Если отрезок $[a,b]$ является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)+E(f),E(f)=-\frac{f^{″}(\xi )}{12}{(b-a)}^3.$

Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации для элементарного отрезка можно оценить через максимум второй производной

$|E(f)|⩽\frac{{(b-a)}^3}{12}\underset{x\in [a,b]}{\max }|f^{″}(x)|$

(для случаев разбиения отрезка на n частей см. составные формулы ниже).

Составная формула

Применение составной формулы трапеций

Если отрезок $[a,b]$ разбивается узлами интегрирования $x_i$, $i=0,1,\dots ,n$, так что $x_0=a$ и $x_n=b$, и на каждом из элементарных отрезков $[x_i,x_{i+1}]$ применяется формула трапеций, то суммирование даст составную формулу трапеций

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^{n-1}\frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}(x_{i+1}-x_i)=$

$=\frac{f(a)}{2}(x_1-a)+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{n-1}f(x_i)(x_{i+1}-x_{i-1})+\frac{f(b)}{2}(b-x_{n-1}).$

Формула Котеса

Применение формулы трапеций для равномерной сетки

В случае равномерной сетки $x_j=a+jh$, где $h=(b-a)/n$ — шаг сетки, составная формула трапеций упрощается:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=h(\frac{f_0+f_n}{2}+\sum _{i=1}^{n-1}{f}_i)+E_n(f),$

причём для погрешности справедлива оценка

$E_n(f)=-\frac{f^{″}(\xi )}{12}(b-a)h^2.$

Свойства

• Метод трапеций быстро сходится для осциллирующих функций, поскольку погрешность за период аннулируется.
• Метод может быть получен путём вычисления среднего арифметического между результатами применения формул правых и левых прямоугольников.

См. также

• Метод прямоугольников
• Формула Симпсона
• Список квадратурных формул

Литература

• Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — 2. — Физ-Мат. Лит., 1963. — С. 659.