Мера Хаусдорфа

Мера Хаусдорфа — собирательное название класса мер, определённых на борелевской $\sigma$-алгебре ${ℬ}(X)$ метрического пространства $X$. Построены Феликсом Хаусдорфом.

Определение

Рассмотрим некоторый класс ${𝒰}$ открытых подмножеств $X$, на котором определим неотрицательную функцию $l=\{l(A)\mid A\in {𝒰}\}$ и

$\lambda (B,\epsilon )=\inf \{\sum _{i=1}^{n}l(A_i)\},$

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям борелевского множества $B\subset X$ множествами из ${𝒰}$ с диаметром, не превосходящим $\epsilon$, то есть

$B\subset \bigcup _{i=1}^n{A}_i\in {𝒰}$

и

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}{A}_i⩽\epsilon ,i=1,2,\dots$

Мерой Хаусдорфа $\lambda$, определяемой классом ${𝒰}$ и функцией $l$, называется предел

$\lambda (B)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\lambda (B,\epsilon ).$

Примеры

1. Пусть ${𝒰}$ — совокупность всех шаров в $X$, a $l(A)=(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}A{)}^{\alpha }$, где $\alpha >0$. Тогда соответствующая мера $\lambda$ будет называться $\alpha$-мерой Хаусдорфа. При $\alpha =1$ такая мера будет называться линейной мерой Хаусдорфа, а при $\alpha =2$ — плоской мерой Хаусдорфа.
2. Если $X={\mathbb{ℝ}}^{n+1}$, ${𝒰}$ — совокупность цилиндров с шаровыми основаниями и осями, параллельными направлению оси $x_{n+1}$ и $l(A)$ равна $n$-мерному объёму осевого сечения цилиндра $A\in {𝒰}$, то соответствующая мера Хаусдорфа называется цилиндрической мерой.

Литература

• Данфорд, Н., Шварц, Дж. Линейные операторы. Общая теория. — пер. с англ.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — Т. 1. — 896 с. — ISBN 5-354-00601-5..