Мера Хаара

Пусть $G$ — локально компактная хаусдорфова топологическая группа.

Левой мерой Хаара в $G$ называется мера ${\mu }_l$, определенная на σ-кольце, порожденном всеми компактными множествами, не равная тождественно нулю, конечная на компактных множествах и такая, что

${\mu }_l(gE)={\mu }_l(E)$

для любых $g\in G$ и $E$ из области определения ${\mu }_l$.

Правая мера Хаара ${\mu }_r$ определяется аналогично заменой условия ${\mu }_l(gE)={\mu }_l(E)$ на условие ${\mu }_r(Eg)={\mu }_r(E)$.

Свойства

• В любой локально компактной топологической группе типа существует и единственна с точностью до мультипликативной положительной постоянной левая (и правая) мера Хаара.
• Для компактных групп, любая левая мера Хаара также является правой.
• Для некомпактных групп, существует гомоморфизм $f:G\to {\mathbb{ℝ}}_{+}$, такой что мера $f\cdot {\mu }_l$ является правой мерой Хаара.

Примеры

• Мера Лебега в ${\mathbb{ℝ}}^n$ является частным случаем меры Хаара.

Литература

• Вейль А. Интегрирование в топологических группах и его применения. — М.: ИЛ, 1950. — 222 с.
• Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. — 664 с.
• Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — М.: Наука, 1973. — 519 с.