Мера Малера

Мера Малера $M(p)$ для многочлена $p(z)$ с комплексными коэффициентами определяется как

$M(p)=|a|\prod _{|{\alpha }_i|\ge 1}|{\alpha }_i|=|a|\prod _{i=1}^n\max \{1,|{\alpha }_i|\},$

где $p(z)$ разлагается в поле комплексных чисел $\mathbb{ℂ}$ на множители

$p(z)=a(z-{\alpha }_1)(z-{\alpha }_2)\cdots (z-{\alpha }_n).$

Меру Малера можно рассматривать как вид функции высоты. Используя формулу Йенсена, можно показать, что эта мера эквивалентна среднему геометрическому чисел $|p(z)|$ для $z$ на единичной окружности (т.е. $|z|=1$):

$M(p)=\exp (\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\ln (|p(e^{i\theta })|)d\theta ).$

В более широком смысле мера Малера для алгебраического числа $\alpha$ определяется как мера Малера минимального многочлена от $\alpha$ над $\mathbb{\mathbb{Q}}$. В частности, если $\alpha$ является числом Пизо или числом Салема, то мера Малера равна просто $\alpha$.

Мера Малера названа в честь математика Курта Малера.

Свойства

• Мера Малера является мультипликативной: $\mathrm{\forall }p,q,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q),$ где $\mathrm{\forall }$ — квантор всеобщности.
• $M(p)=\underset{\tau \to 0}{\lim }\Vert p{\Vert }_{\tau }$, где среднее степенное $\Vert p{\Vert }_{\tau }={(\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|p(e^{i\theta }){|}^{\tau }d\theta )}^{1/\tau }$ является нормой $L_{\tau }$ для многочлена $p$ .
• (Теорема Кронекера) Если $p$ является неприводимым нормированным (старший коэффициент — 1) целочисленным многочленом с $M(p)=1$, то либо $p(z)=z$, либо $p$ является круговым многочленом.
• (Гипотеза Лемера) Если существует константа $\mu >1$, такая, что если $p$ является неприводимым целочисленным многочленом, то либо $M(p)=1$, либо $M(p)>\mu$.
• Мера Малера нормированного целого многочлена является числом Перрона.

Мера Малера от нескольких переменных

Мера Малера $M(p)$ для многочлена с несколькими переменными $p(x_1,\dots ,x_n)\in \mathbb{ℂ}[x_1,\dots ,x_n]$ определяется аналогичной формулой.

$M(p)=\exp (\frac{1}{(2\pi {)}^n}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\cdots \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\log (|p(e^{i{\theta }_1},e^{i{\theta }_2},\dots ,e^{i{\theta }_n})|)d{\theta }_{1}d{\theta }_2\cdots d{\theta }_n).$

Эта мера сохраняет все три свойства меры Малера для многочлена от одной переменной.

Было показано, что в некоторых случаях мера Малера от нескольких переменных связана со специальными значениями дзета-функций и $L$-функций. Например, в 1981 Смит доказал формулы

$m(1+x+y)=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi }L({\chi }_{-3},2),$

где $L({\chi }_{-3},s)$ является L-функцией Дирихле, и

$m(1+x+y+z)=\frac{7}{2{\pi }^2}\zeta (3)$ ,

где $\zeta$ является дзета-функцией Римана. Здесь $m(P)=\log M(P)$ называется логарифмической мерой Малера.

Теорема Лоутона

По определению мера Малера рассматривается как интеграл многочлена по тору (см. гипотезу Лемера). Если $p$ обращается в ноль на торе $(S^1{)}^n$, то сходимость интеграла, определяющего $M(p)$, не очевидна, но известно, что $M(p)$ сходится и равно пределу меры Малера от одной переменной, что было высказано в виде гипотезы Бойдом.

Пусть $\mathbb{\mathbb{Z}}$ обозначает целые числа, определим ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_{+}^N=\{r=(r_1,\dots ,r_N)\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}^N:r_j\ge 0\text{for}1\le j\le N\}$. Если $Q(z_1,\dots ,z_N)$ является многочленом от $N$ переменных и $r=(r_1,\dots ,r_N)\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}_{+}^N$, то пусть многочлен $Q_r(z)$ от одной переменной определяется как

$Q_r(z):=Q(z^{r_1},\dots ,z^{r_N}),$

а $q(r)$ — как

$q(r):=\text{min}\{H(s):s=(s_1,\dots ,s_N)\in {\mathbb{\mathbb{Z}}}^N,s\ne (0,\dots ,0)\text{and}\sum _{j=1}^N{s}_j{r}_j=0\}$,

где $H(s)=\text{max}\{|s_j|:1\le j\le N\}$.

Теорема (Лоутона): пусть $Q(z_1,\dots ,z_N)$ является многочленом от N переменных с комплексными коэффициентами — тогда верен следующий предел (даже если нарушить условие $r_i\ge 0$):

$\underset{q(r)\to \mathrm{\infty }}{\lim }M(Q_r)=M(Q)$

Предложение Бойда

Бойд предложил утверждение, более общее, чем вышеприведённая теорема. Он указал на то, что классическая теорема Кронекера, которая характеризует нормированные многочлены с целыми коэффициентами, корни которых лежат внутри единичного круга, может рассматриваться как описание многочленов одной переменной, мера Малера для которых в точности равна 1, и на то, что этот результат можно распространить на многочлены нескольких переменных.

Пусть расширенный круговой многочлен будет определяться как многочлен вида

$\mathrm{\Psi }(z)=z_1^{b_1}\dots z_n^{b_n}{\mathrm{\Phi }}_m(z_1^{v_1}\dots z_n^{v_n}),$

где ${\mathrm{\Phi }}_m(z)$ — круговой многочлен степени m, $v_i$ — целые числа, а $b_i=\max (0,-v_i\mathrm{deg}{\mathrm{\Phi }}_m)$ выбран минимальным, так что $\mathrm{\Psi }(z)$ является многочленом от $z_i$. Пусть $K_n$ — множество многочленов, являющихся произведением одночленов $\pm z_1^{c_1}\dots z_n^{c_n}$ и расширенного кругового многочлена. Тогда получается следующая теорема.

Теорема (Бойда): пусть $F(z_1,\dots ,z_n)\in \mathbb{\mathbb{Z}}[z_1,\dots ,z_n]$ является многочленом с целыми коэффициентами — тогда $M(F)=1,$ только когда $F$ является элементом $K_n$.

Это натолкнуло Бойда на мысль рассматреть следующие множества:

$L_n:=\{m(P(z_1,\dots ,z_n)):P\in \mathbb{\mathbb{Z}}[z_1,\dots ,z_n]\},$

и объединение $L_{\mathrm{\infty }}=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{L}_n$. Он выдвинул более «продвинутую» гипотезу, что множество $L_{\mathrm{\infty }}$ является замкнутым подмножеством $\mathbb{ℝ}$. Из верности этой гипотезы немедленно следует верность гипотезы Лемера, хотя и без явной нижней границы. Поскольку из результата Смита^{[прояснить]} вытекает, что $L_1⫋L_2$, Бойд позже высказал гипотезу, что

$L_1⫋L_2⫋L_3⫋\cdots .$

См. также

• Норма Бомбиери
• Высота многочлена

Ссылки

• Mahler Measure on MathWorld
• Jensen's Formula on MathWorld