Мера Жордана

Мера Жордана — один из способов формализации понятия длины, площади и $n$-мерного объёма в $n$-мерном евклидовом пространстве.

Определение

Меру Жордана можно определить как единственную конечно-аддитивную меру, определённую на кольце многогранников и удовлетворяющую следующим условиям:

1. Меры конгруэнтных многогранников равны.
2. Мера единичного куба равна единице.

Максимальное кольцо множеств, на которое мера Жордана продолжается единственным образом, называется кольцом квадрируемых множеств.

Построение

Множество измеримо по Жордану если внутренняя мера Жордана равна внешней мере Жордана.

Мера Жордана $m\mathrm{\Delta }$ параллелепипеда $\mathrm{\Delta }=\prod _{i=1}^n[a_i,b_i]$ в ${\mathbb{ℝ}}^n$ определяется как произведение

$m\mathrm{\Delta }=\prod _{i=1}^n(b_i-a_i).$

Для ограниченного множества $E\subset {\mathbb{ℝ}}^n$ определяются:

• внешняя мера Жордана

  $m_{e}E=\inf \sum _{k=1}^{N}m{\mathrm{\Delta }}_k,\bigcup _k{\mathrm{\Delta }}_k\supset E$

• внутренняя мера Жордана

  $m_{i}E=\sup \sum _{k=1}^{N}m{\mathrm{\Delta }}_k,\bigcup _k{\mathrm{\Delta }}_k\subset E,{\mathrm{\Delta }}_k\cap {\mathrm{\Delta }}_m=\varnothing$, если $k\ne m,$

здесь ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_N$ — параллелепипеды описанного выше вида.

Множество $E$ называется измеримым по Жордану (или квадрируемым), если $m_{e}E=m_{i}E$. В этом случае мера Жордана равна $mE=m_{e}E=m_{i}E$.

Свойства

• Множества, измеримые по Жордану, образуют кольцо, на котором мера Жордана является конечно-аддитивной мерой.
• Мера Жордана инвариантна относительно движений евклидова пространства.
• Множество $F$ измеримо по Жордану, если для любого $\epsilon >0$ существует пара многогранников $P$ и $Q$ таких, что

  $P\subset F\subset Q$ и $mP+\epsilon >mQ$.

• Ограниченное множество $E\subset {\mathbb{ℝ}}^n$ измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет нулевую меру Жордана (или, что равносильно, когда его граница имеет нулевую меру Лебега). В частности, все множества, граница которых состоит из конечного числа гладких кривых и точек, измеримы по Жордану. Тем не менее существуют множества, ограниченные простой замкнутой кривой Жордана, которые не измеримы по Жордану.
• Внешняя мера Жордана одна и та же для $E$ и $\overline{E}$ (замыкания множества $E$) и равна мере Бореля $\overline{E}$.

История

Приведённое понятие меры ввели Пеано (1887) и Жордан (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Пример множества, неизмеримого по Жордану

Рассмотрим меру Жордана $m$, определённую на $\mathbb{ℝ}$. Пусть $A=[0,1]=\{x\in \mathbb{ℝ}:0⩽x⩽1\}$ — множество точек единичного отрезка., $\mathbb{\mathbb{Q}}$ — подмножество рациональных точек множества $A$, тогда $\mathbb{\mathbb{Q}}$  — неизмеримое по Жордану множество, так как $m_e\mathbb{\mathbb{Q}}=1,m_i\mathbb{\mathbb{Q}}=0,m_e\mathbb{\mathbb{Q}}\ne m_i\mathbb{\mathbb{Q}}$, то есть верхняя и нижняя мера Жордана не совпадают (хотя это множество измеримо по Лебегу).

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 3;
• Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
• Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;

См. также

• Мера множества
• Мера Лебега
• Мера Хаусдорфа
• Мера Бореля