Лемма Ферма

Ле́мма Ферма́ утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю.

Предыстория

У Ньютона этот факт упоминался как т. н. принцип остановки:

Когда величина есть наибольшая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течёт ни вперёд, ни назад.Исаак Ньютон

Выдвинут Николаем Орезмским в его учении о широтах и долготах.

Формулировка

Пусть функция $f:M\subset \mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ},$ имеет во внутренней точке области определения $x\in M^0$ локальный экстремум. Пусть также существуют односторонние производные $f{\text{'}}_{+}(x_0),f{\text{'}}_{-}(x_0)$ конечные или бесконечные. Тогда

• если $x_0$ — точка локального максимума, то

  $f{\text{'}}_{+}(x_0)⩽0,f{\text{'}}_{-}(x_0)⩾0;$

• если $x_0$ — точка локального минимума, то

  $f{\text{'}}_{+}(x_0)⩾0,f{\text{'}}_{-}(x_0)⩽0.$

В частности, если функция $f$ имеет в $x_0$ производную, то

$f^{\prime }(x_0)=0.$

Доказательство

Предположим, что $f(x_0)=\underset{x\in (a,b)}{\max }f(x)$. Тогда $\mathrm{\forall }x\in (a,b):f(x)⩽f(x_0)$.

Поэтому:

$f{\text{'}}_{-}(x_0)=\underset{x\to x_0-0}{\lim }\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)⩾0,$

$f{\text{'}}_{+}(x_0)=\underset{x\to x_0+0}{\lim }\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)⩽0.$

Если производная $f^{\prime }(x_0)$ определена, то получаем

$0⩽f{\text{'}}_{-}(x_0)=f^{\prime }(x_0)=f{\text{'}}_{+}(x_0)⩽0$,

то есть $f^{\prime }(x_0)=0$.

Если $x_0$ — точка локального минимума функции $f$, то доказательство аналогично.

Замечание

Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из равенства нулю производной в некоторой точке не следует наличие локального экстремума в этой точке.

Примеры

• Пусть $f(x)=|x|$. Тогда $x=0$ — точка локального минимума, и

$f{\text{'}}_{+}(0)=1⩾0$, $f{\text{'}}_{-}(0)=-1⩽0$ (при этом сама функция не является дифференцируемой в точке $x=0$).

• Пусть $f(x)=x^2$. Тогда $x=0$ — точка локального минимума, и

$f^{\prime }(0)=0$.

• Пусть $f(x)=x^3$. Тогда

$f^{\prime }(0)=0$,

но точка $x=0$ не является точкой локального экстремума.

См. также

• Теорема Ролля
• Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции