Теорема Ролля

Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что

Если вещественная функция, непрерывная на отрезке $[a,b]$ и дифференцируемая на интервале $(a,b)$, принимает на концах отрезка $[a,b]$ одинаковые значения, то на интервале $(a,b)$ найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Доказательство

Геометрический смысл теоремы Ролля

Следствие теоремы Ролля: между каждыми двумя последовательными корнями многочлена лежит корень его производной

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма производная в этой точке равна 0.

Геометрический смысл

Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Следствия

Если дифференцируемая функция обращается в ноль в $n$ различных точках, то её производная обращается в ноль по крайней мере в $n-1$ различных точках, причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.

Если все корни многочлена n-ой степени действительные, то и корни всех его производных до $n-1$ включительно — также исключительно действительные.

Дифференцируемая функция на отрезке между двумя своими точками имеет касательную, параллельную секущей/хорде, проведённой через эти две точки.

См. также

• Обобщённая теорема Ролля
• Формула конечных приращений
• Теорема Коши о среднем значении

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — М.: «Наука», 1962. — Т. 1. — С. 225. — 607 с.