Кратный интеграл

В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от $d>1$ переменных. Например:

$\underset{d}{\underbrace{\int \cdots \int }}f(x_1,\dots ,x_d)d{x}_1\cdots d{x}_d$

Замечание: кратный интеграл − это определённый интеграл, при его вычислении всегда получается число.

Определение кратного интеграла

Пусть $B\subset {\mathbb{ℝ}}^n$ — измеримое множество n-мерного вещественного пространства, $f:B\to \mathbb{ℝ}$ — функция на $B$.

Разбиение $\sigma$ множества $B$ — это набор попарно непересекающихся подмножеств $\sigma =\{U_i\subset B\}$, которые в объединение дают всё $B$.

Мелкость разбиения $\left|\sigma \right|$ — это наибольший диаметр множеств $U_i\in \sigma$.

$\left|\sigma \right|=\max \{\mathrm{diam}\left(U_i\right)\}$

Разбиение называется конечным, если является конечным множеством, и измеримым, если все его элементы — измеримые (в данном случае — по Жордану) множества.

Кратным (n-кратным) интегралом функции $f$ на множестве $B$ называется число $I$ (если оно существует), такое что, какой бы малой $\epsilon$-окрестностью числа $I$ мы ни задались, всегда найдется такое разбиение множества $B$ и набор промежуточных точек, что сумма произведений значения функции в промежуточной точке разбиения на меру разбиения будет попадать в эту окрестность. Формально:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0$ : $\sigma =\{U_i{\}}_{i=1}^m$ : $\left|\sigma \right|<\delta \mathrm{\forall }{\xi }_i\in U_i\left|\sum _{i=1}^{m}f({\xi }_i)\mu (U_i)-I\right|<\epsilon$

Здесь $\mu (U_i)$ — мера множества $U_i$.

Это определение можно сформулировать в другой форме с использованием интегральных сумм. А именно, для данного разбиения $\sigma =\{U_i{\}}_{i=1}^m$ и множества точек $\xi =\{{\xi }_i\in U_i\}$ рассмотрим интегральную сумму

$\zeta (f,\sigma ,\xi )=\sum _{i=1}^{m}f({\xi }_i)\mu (U_i)$

Кратным интегралом функции $f:B\to \mathbb{ℝ}$ называют предел

$I=\underset{\left|\sigma \right|\to 0}{\lim }\zeta (f,\sigma ,\xi )$

если он существует. Предел берётся по множеству всех последовательностей разбиений, с мелкостью стремящейся к 0. Разумеется, это определение отличается от предыдущего, по сути, лишь используемым языком.

Интеграл обозначается следующим образом:

• В векторном виде

$\underset{G}{\int }f\left(X\right)dX=I$,

• Либо ставят значок интеграла $d$ раз, записывают функцию и $d$ дифференциалов: $\underset{d}{\underbrace{\int \cdots \int }}f(x_1,\dots ,x_d)d{x}_1\cdots d{x}_d=I$.
• Для двойного и тройного интегралов используются также обозначения $\iint$ и $\iiint$ соответственно.

В современных математических и физических статьях многократное использование знака интеграла не применяется.

Такой кратный интеграл называется интегралом в собственном смысле.

В случае $n=1$ кратный интеграл совпадает с интегралом Римана.

Существование кратного интеграла

Достаточные условия

• Если функция непрерывна на измеримом по Жордану компакте, то она интегрируема на нем.
  • Неограниченная функция на множестве может быть не интегрируемой, даже если она непрерывна. Например, функция $y=1/x$ не интегрируема на интервале $(0;1)$.
• Если функция определена на измеримом по Жордану множестве, у которого существуют сколь угодно мелкие разбиения, для которых данная функция неограничена на объединении всех их элементов положительной меры, то эта функция неинтегрируема на этом множестве.

Критерий Дарбу

Основная статья: Критерий Дарбу

Пусть существуют верхний $I^{*}$ и нижний $I_{*}$ интегралы Дарбу функции на $G$. Тогда, если верхний и нижний интегралы Дарбу равны, то данная функция интегрируема на $G$, причем:

$I^{*}=I_{*}=\underset{G}{\int }f\left(X\right)dX$

Критерий Лебега

Пусть $G$ - измеримое по Жордану множество. Функция интегрируема на $G$, если:

• Функция ограничена на $G$.
• Функция непрерывна на $G\setminus E$, где множество $E$ имеет меру Лебега нуль.

Свойства кратных интегралов

• Линейность по функции. Пусть $G$ измеримо, функции $f$ и $g$ интегрируемы на $G$, тогда

$\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in \mathbb{ℝ}:\underset{G}{\int }(\lambda f+\mu g)dX=\lambda \underset{G}{\int }fdX+\mu \underset{G}{\int }gdX$.

• Аддитивность по множеству интегрирования. Пусть множества $G_1$ и $G_2$ измеримы, $G_1\cap G_2=\varnothing$ и $G_1\cup G_2=G$. Пусть также функция $f(X)$ определена и интегрируема на каждом из множеств $G_1$ и $G_2$. Тогда интеграл по $G$ существует и равен

$\underset{G}{\int }f(X)dX=\underset{G_1}{\int }f(X)dX+\underset{G_2}{\int }f(X)dX$.

• Монотонность по функции. Пусть $G$ измеримо, функции $f$ и $g$ интегрируемы на $G$, причем $\mathrm{\forall }X\in G:f\left(X\right)⩽g\left(X\right)$. Тогда

$\underset{G}{\int }f(X)dX⩽\underset{G}{\int }g(X)dX$.

• Интегральное неравенство треугольника. Следствие предыдущего свойства.

$|\underset{G}{\int }f(X)dX|⩽\underset{G}{\int }|f(X)|dX$

• Интегральная теорема о среднем. Пусть $G$ — компакт, функция $f(X)$ непрерывна и интегрируема на $G$, тогда

$\mathrm{\exists }Y\in G:\underset{G}{\int }f(X)dX=f(Y)\mu (G)$

• Постоянная функция $f(X)=c$ интегрируема на любом измеримом множестве $G$, причем

$\underset{G}{\int }f(X)dX=c\cdot \mu (G)$.

• Как следствие, $\underset{G}{\int }dX=\mu (G)$.

Вычисление кратных интегралов

Сведение кратного интеграла к повторным

Пусть $D\subset {\mathbb{ℝ}}^{d-1}$ — измеримое множество, $G=\{(x_1,\dots ,x_d):(x_1,\dots ,x_{d-1})\in D;\phi (x_1,\dots ,x_{d-1})\le x_d\le \psi (x_1,\dots ,x_{d-1})\}$ — также измеримое множество, $f\left(X\right)$ определена и интегрируема на $G$. Тогда

• $\underset{\phi (x_1,\dots ,x_{d-1})}{\overset{\psi (x_1,\dots ,x_{d-1})}{\int }}f(x_1,\dots ,x_d)d{x}_d\equiv I(x_1,\dots ,x_{d-1})$ существует всюду на $D$, кроме множества $D_0$ Лебеговой меры нуль ($D_0$ может быть пустым);
• существует $\underset{D}{\int }\tilde{I}(x_1,\dots ,x_{d-1})d{x}_1\dots d{x}_{d-1}\equiv \underset{D}{\int }\left[\underset{\phi (x_1,\dots ,x_{d-1})}{\overset{\psi (x_1,\dots ,x_{d-1})}{\int }}f(x_1,\dots ,x_d)d{x}_d\right]d{x}_1\dots d{x}_{d-1}$, где

$\tilde{I}(x_1,\dots ,x_{d-1})\equiv \{\begin{array}{ll}I(x_1,\dots ,x_{d-1}),& (x_1,\dots ,x_{d-1})\in D\mathrm{\setminus }{D}_0\\ 0& (x_1,\dots ,x_{d-1})\in D_0,\end{array}$

называемый повторным интегралом от функции $f(x_1,\dots ,x_{d-1})$ по множеству $G$;

• $\underset{G}{\int }f(x_1,\dots ,x_d)d{x}_1\dots d{x}_d=\underset{D}{\int }\left[\underset{\phi (x_1,\dots ,x_{d-1})}{\overset{\psi (x_1,\dots ,x_{d-1})}{\int }}f(x_1,\dots ,x_d)d{x}_d\right]d{x}_1\dots d{x}_{d-1}$.

Любой d-мерный интеграл можно свести к d одномерным.

Замена переменных в кратном интеграле

Пусть задано биективное отображение ${\mathbb{ℝ}}^d\leftrightarrow {\mathbb{ℝ}}^d$, переводящее область $D^{\prime }$ в $D$:

$\{\begin{array}{r}{t}_1={\psi }_1(x_1,\dots ,x_d)\\ t_2={\psi }_2(x_1,\dots ,x_d)\\ \dots \\ t_d={\psi }_d(x_1,\dots ,x_d)\\ \end{array}$,

где $t$ — «старые» координаты, а $x$ — «новые» координаты. Пусть далее функции, задающие отображение, имеют в области $D^{\prime }$ непрерывные частные производные первого порядка, а также ограниченный и отличный от нуля якобиан

$\frac{D\left(t\right)}{D\left(x\right)}=\frac{D(t_1,\dots ,t_d)}{D(x_1,\dots ,x_d)}$.

Тогда при условии существования интеграла

$\underset{D}{\int }f\left(T\right)dT=\int \underset{D}{\int }\dots \int f(t_1,\dots ,t_d)d{t}_1\dots d{t}_d$

справедлива формула замены переменных:

$\int \underset{D}{\int }\dots \int f(t_1,\dots ,t_d)d{t}_1\dots d{t}_d=\int \underset{D^{\prime }}{\int }\dots \int f({\psi }_1(x_1,\dots ,x_d),\dots ,{\psi }_d(x_1,\dots ,x_d))\left|\frac{D(t_1,\dots ,t_d)}{D(x_1,\dots ,x_d)}\right|d{x}_1\dots d{x}_d$

Использование симметрии

Если область интегрирования симметрична относительно начала координат по крайней мере для одной из переменных интегрирования и подынтегральная функция нечётна по этой переменной, интеграл равен нулю, поскольку интегралы по двум половинкам области интегрирования имеют одно и то же абсолютное значение, но противоположные знаки. Если подынтегральная функция чётна по этой переменной, интеграл равен удвоенному интегралу по одной из половинок области интегрирования, поскольку интегралы по каждой из половинок равны.

Пример 1. Пусть функция

$f(x,y)=2\sin (x)-3y^3+5$

интегрируется по области

$T=\{(x,y)\in {\mathbf{𝐑}}^2:x^2+y^2\le 1\},$

кругу радиуса 1 с центром в начале координат.

Используя свойство линейности, интеграл можно разложить на три части:

$\underset{T}{\iint }(2\sin x-3y^3+5)dxdy=\underset{T}{\iint }2\sin xdxdy-\underset{T}{\iint }3y^{3}dxdy+\underset{T}{\iint }5dxdy$

2sin(x) и 3y³ являются нечётными функциями и, кроме того, очевидно, что диск T симметричен как относительно оси x, так и по оси y. Таким образом, вклад в конечный результат даёт только константа 5.

Пример 2. Пусть функция f(x, y, z) = x exp(y² + z²) интегрируется по сфере радиуса 2 с центром в начале координат,

$T=\{(x,y,z)\in {\mathbf{𝐑}}^3:x^2+y^2+z^2\le 4\}.$

"Шар" симметричен по всем трём осям, но достаточно проинтегрировать по оси x, чтобы показать, что интеграл равен 0, поскольку по этой переменной функция нечётна.

Двойной интеграл

Геометрический смысл двойного интеграла

Двойным интегралом называют кратный интеграл с $d=2$.

$\underset{D}{\iint }f\left(P\right)d\sigma$. Здесь $d\sigma$ — элемент площади в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах: $\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy$, где $dxdy$ — элемент площади в прямоугольных координатах.

Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть функция $f(x,y)$ принимает в области $D$ только положительные значения. Тогда двойной интеграл $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ::$ численно равен объему $V$ вертикального цилиндрического тела, построенного на основании $D$ и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности $z=f(x,y)$.

Выражение двойного интеграла через полярные координаты

Переход из прямоугольных координат в полярные.

Переход из прямоугольных координат в полярные.

В некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.

Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

$\{\begin{array}{rl}& x=r\cos \phi \\ & y=r\sin \phi \end{array}$

Модуль якобиана отображения равен $r$. Таким образом получаем, что

$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{D^{\prime }}{\iint }g(r,\phi )rdrd\phi ,$ где $g(r,\phi )=f(r\cos \phi ,r\sin \phi )$.

Здесь $rdrd\phi$ является элементом площади в полярных координатах.

Пример перехода в произвольную систему координат

Посчитаем площадь области $D=\{(x,y):x^2+\frac{y^2}{4}\le 1\}$.

Переход в полярную систему координат не сделает область проще:

$D\text{'}=\{(r,\phi ):r^2({\cos }^2\phi +\frac{1}{4}{\sin }^2\phi )\le 1\}$.

Множитель перед синусом «мешает». В этом случае переход можно немного скорректировать:

$\{\begin{array}{rl}& x=r\cos \phi \\ & y=2r\sin \phi \\ \end{array}$.

Это преобразование переведет исходную область в следующую:

$D{\text{'}}^{\prime }=\{(r,\phi ):r^2\le 1\}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& 0\le \phi \le 2\pi \\ & 0\le r\le 1\\ \end{array}$.

Якобиан отображения:

$\left|\begin{array}{cc}{x^{\prime }}_r& {y^{\prime }}_r\\ {x^{\prime }}_{\phi }& {y^{\prime }}_{\phi }\\ \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos \phi & 2\sin \phi \\ -r\sin \phi & 2r\cos \phi \\ \end{array}\right|=2r$.

Модуль якобиана также равен $2r$.

Отсюда

$S\left(D\right)=\underset{D^{″}}{\iint }2rdrd\phi =2\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi \underset{0}{\overset{1}{\int }}rdr=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi =2\pi$.

Результат верный, так как область $D$ ограничена эллипсом, заданным каноническим уравнением. Площадь можно посчитать по формуле $S=\pi ab$. Путём подстановки убеждаемся в верности вычисления интеграла.

Приложения двойных интегралов

Наименование величины	Общее выражение	Прямоугольные координаты	Полярные координаты
Площадь плоской фигуры	$S=\underset{G}{\iint }d\sigma$	$\underset{G}{\iint }dxdy$	$\underset{G}{\iint }rdrd\phi$
Масса тонкой плоской пластинки плотностью $\mu$	$m=\underset{G}{\iint }\mu \left(\sigma \right)d\sigma$	$\underset{G}{\iint }\mu (x,y)dxdy$	$\underset{G}{\iint }\mu (r,\phi )rdrd\phi$
Площадь куска поверхности${1)}^{}$	$S=\underset{G}{\iint }\frac{d\sigma }{\cos \gamma }$	$\underset{G}{\iint }\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}dxdy$	$\underset{G}{\iint }\sqrt{r^2+r^2{\left(\frac{\partial z}{\partial \rho }\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial \phi }\right)}^2}drd\phi$
Объем цилиндрического тела, стоящего на плоскости $XOY$	$V=\underset{G}{\iint }zd\sigma$	$\underset{G}{\iint }zdxdy$	$\underset{G}{\iint }zrdrd\phi$
Момент инерции плоской фигуры${2)}^{}$ относительно оси $O{Z}^{3)}$	$I_z=\underset{G}{\iint }{r}^{2}d\sigma$	$\underset{G}{\iint }(x^2+y^2)dxdy$	$\underset{G}{\iint }{r}^{3}drd\phi$
Момент инерции плоской фигуры${2)}^{}$ относительно оси $O{X}^{3)}$	$I_z=\underset{G}{\iint }{y}^{2}d\sigma$	$\underset{G}{\iint }{y}^{2}dxdy$	$\underset{G}{\iint }{r}^3{\sin }^2\phi drd\phi$
Координаты центра масс однородной пластинки${3)}^{}$	$x_c=\frac{1}{S}\underset{G}{\iint }xd\sigma$ $y_c=\frac{1}{S}\underset{G}{\iint }yd\sigma$	$\begin{array}{rl}& \frac{1}{S}\underset{G}{\iint }xdxdy\\ & \frac{1}{S}\underset{G}{\iint }ydxdy\\ \end{array}$	$\begin{array}{rl}& \frac{1}{S}\underset{G}{\iint }{r}^2\cos \phi drd\phi \\ & \frac{1}{S}\underset{G}{\iint }{r}^2\sin \phi drd\phi \\ \end{array}$
Примечания	1) Область $G$ — проекция на плоскость $XOY$; в каждую точку области проектируется только одна точка поверхности; $\gamma$ — угол между касательной плоскостью и плоскостью $XOY$. 2) Совмещенной с плоскостью $XOY$. 3) Или, что то же, относительно центра О.

Тройной интеграл

Тройным интегралом называют кратный интеграл с $d=3$:

$\underset{D}{\iiint }f\left(P\right)dV$

где $dV$ — элемент объема в рассматриваемых координатах.

Выражение тройного интеграла через прямоугольные координаты

В прямоугольных координатах тройной интеграл имеет следующий вид:

$\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz$

где $dxdydz$ — элемент объема в прямоугольных координатах.

Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты

Объем в цилиндрических координатах

Аналогично в некоторых случаях тройной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в цилиндрических координатах. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

$\{\begin{array}{rl}& x=r\cos \phi \\ & y=r\sin \phi \\ & z=h\\ \end{array}$

Модуль якобиана отображения равен $r$. Таким образом получаем, что

$\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz=\underset{D^{\prime }}{\iiint }f(r,\phi ,h)rdrd\phi dh$

где $rdrd\phi dh$ — элемент объема в цилиндрических координатах.

Выражение тройного интеграла через сферические координаты

Объем в сферических координатах

Кроме цилиндрических можно также переходить и в сферические координаты. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

$\{\begin{array}{rl}& x=r\sin \theta \cos \phi \\ & y=r\sin \theta \sin \phi \\ & z=r\cos \theta \\ \end{array}$

Модуль якобиана отображения равен $r^2\sin \theta$. Таким образом получаем, что

$\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz=\underset{D^{″}}{\iiint }f(r,\phi ,\theta )r^2\sin \theta drd\phi d\theta$

где $r^2\sin \theta drd\phi d\theta$ — элемент объема в сферических координатах.

Приложения тройных интегралов

Наименование величины	Общее выражение	Прямоугольные координаты	Цилиндрические координаты	Сферические координаты
Объем тела	$V=\underset{G}{\iiint }dV$	$\underset{G}{\iiint }dxdydz$	$\underset{G}{\iiint }rdrd\phi dh$	$\underset{G}{\iiint }{\rho }^2\sin \theta d\rho d\phi d\theta$
Момент инерции геометрического тела относительно оси $OZ$	$I_z=\underset{G}{\iiint }{r}^{2}dV$	$\underset{G}{\iiint }(x^2+y^2)dxdydz$	$\underset{G}{\iiint }{r}^{3}drd\phi dh$	$\underset{G}{\iiint }{\rho }^4{\sin }^3\theta d\rho d\phi d\theta$
Масса физического тела с плотностью $\mu$	$m=\underset{G}{\iiint }\mu dV$	$\underset{G}{\iiint }\mu dxdydz$	$\underset{G}{\iiint }\mu rdrd\phi dh$	$\underset{G}{\iiint }\mu {\rho }^2\sin \theta d\rho d\phi d\theta$
Координаты центра масс однородного тела	$\begin{array}{rl}& x_c=\frac{1}{V}\underset{G}{\iiint }xdV\\ & y_c=\frac{1}{V}\underset{G}{\iiint }ydV\\ & z_c=\frac{1}{V}\underset{G}{\iiint }zdV\\ \end{array}$	$\begin{array}{rl}& \frac{1}{V}\underset{G}{\iiint }xdxdydz\\ & \frac{1}{V}\underset{G}{\iiint }ydxdydz\\ & \frac{1}{V}\underset{G}{\iiint }zdxdydz\\ \end{array}$	—	—

См. также

• Дискретная теорема Грина
• Интеграл
• Мера множества
• Теорема Тонелли — Фубини
• Механические приложения интегралов

Литература

• Выгодский, М. Я. Дифференцирование и интегрирование функций нескольких аргументов // Справочник по высшей математике. — М.: Астрель, АСТ, 2005. — 991 с. — 10 000 экз. — ISBN 5-17-012238-1, 5-271-03651-0.
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 2. Двойные и n-кратные интегралы // Основы математического анализа. — 4. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 2. — 464 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0131-5.
• Кудрявцев, Л. Д. Глава 6. Интегральное исчисление функций многих переменных // Курс математического анализа. — М.: Высшая школа, 1981. — Т. 2. — 584 с.
• Будак, Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. — М.: Наука, 1967. — 608 с.