Дельтоид

Не следует путать с дельтоидой.

На чертеже слева дельтоид выпуклый, справа — невыпуклый.

Дельто́ид (от др.-греч. δελτοειδής — «дельтовидный», напоминающий заглавную букву дельта) — четырёхугольник, четыре стороны которого можно сгруппировать в две пары равных смежных сторон.

Свойства

Свойства дельтоида

Вписанная и вневписанная окружности выпуклого дельтоида $ABCD$.

• Углы между сторонами неравной длины равны.
• Диагонали взаимно перпендикулярны.
• В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность; кроме того, если дельтоид не является ромбом, то существует ещё одна окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон (см. рисунок).
• Для любого невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух бо́льших сторон и продолжений двух меньших сторон, и окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух бо́льших сторон.
• Точка пересечения диагоналей делит одну из них пополам.
• Другая диагональ является биссектрисой углов.
• Одна диагональ делит дельтоид на два равных треугольника.
• Другая диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника, если он выпуклый, и достраивает его равнобедренным треугольником до равнобедренного треугольника, если он невыпуклый.

Площадь дельтоида

Здесь приведены формулы, свойственные именно дельтоиду. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

$S=\frac{d_1{d}_2}{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей.

$S=ab\sin \alpha$, где $a$ и $b$ — длины неравных сторон, а $\alpha$ — угол между ними.

$S=(a+b)r$, где $a$ и $b$ — длины неравных сторон, а $r$ — радиус вписанной окружности.

$S=\frac{1}{2}{a}^2\sin {\phi }_1+\frac{1}{2}{b}^2\sin {\phi }_2$, где $a$ и $b$ — длины неравных сторон, а ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$ — углы между равными сторонами соответственно.

Частные случаи

• Если угол между неравными сторонами дельтоида прямой, то вокруг него можно описать окружность (вписанный дельтоид).
• Если пара противоположных сторон дельтоида равна, то такой дельтоид является ромбом.
• Если пара противоположных сторон и обе диагонали дельтоида равны, то дельтоид является квадратом. Квадратом является и вписанный дельтоид с равными диагоналями.

Разное

• Дельтоидами являются грани дельтоидального икоситетраэдра, дельтоидального гексеконтаэдра и трапецоэдра.