Группа узла

Группа узла — характеристика узла, определяемая как фундаментальная группа его дополнения.

Определение

Пусть $K\subset {\mathbb{ℝ}}^3$ есть узел. Тогда группа узла узла определяется как фундаментальная группа ${\pi }_1({\mathbb{ℝ}}^3\setminus K)$..

Комментарий

По другим соглашениям узел рассматривается как вложение окружности в 3-сферу. В этом случае группу узла определяют как фундаментальную группу его дополнения в $S^3$. Оба определения дают изоморфные группы.

Свойства

• Два эквивалентных узла имеют изоморфные группы узлов, так что группа узла является инвариантом узла и может быть использована для установления неэквивалентности пары узлов. Однако два неэквивалентных узла могут иметь изоморфные группы узлов (см. пример ниже).

• Абелизация группы узла всегда изоморфна бесконечной циклической группе $\mathbb{\mathbb{Z}}$. Это следует из того, что абелизация совпадает с первой группой гомологий, которую легко вычислить.

• Группу узлов (а также фундаментальную группу ориентированных зацеплений в общем случае) можно вычислить с помощью сравнительно простых алгоритмов, используя представление Виртингера.

Примеры

• Группа тривиального узла изоморфна $\mathbb{\mathbb{Z}}$.
  • Обратное также верно.
• Группа трилистника изоморфна группе кос $B^3$, эта группа имеет задание:

  $⟨x,y\mid x^2=y^3⟩$ или $⟨a,b\mid aba=bab⟩$.

• Группа $(p,q)$-торического узла обладает заданием:

  $⟨x,y\mid x^p=y^q⟩$.

• Группа восьмёрки имеет задание:

  $⟨x,y\mid yx{y}^{-1}xy=xy{x}^{-1}yx⟩$.

• Прямой узел и бабий узел имеют изоморфные группы узлов, но узлы эти не эквивалентны.

См. также

• Группа зацепления

Литература

• Узлов и зацеплений группы — статья из Математической энциклопедии
• Болтянский В.Г.,Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.