Многочлен HOMFLY

Многочлен HOMFLY — инвариант зацепления в форме многочлена двух переменных.

Является одним из самых чувствительных инвариантов зацеплений. В частности, многочлены Джонса и Александера выражаются через HOMFLY подстановками. В то же время HOMFLY вычисляется проще вышеназванных многочленов.

Название HOMFLY объединяет инициалы его авторов: Джима Хоста, Адриана Окняну, Кеннета Миллетта, Питера Дж. Фрейда, У. Б. Р. Ликориша и Дэвида Н. Йеттера.^[1] Иногда многочлен называют HOMFLY-PT, указывая на связанную независимую работу Юзефом Х. Пшитицким и Павлом Трачиком.^[2]

Определение[править]

HOMFLY зацепления — многочлен двух переменных m и l и определяется скейн-соотношением:

P (тривиальный узел) = 1,

ℓ P (L_{+}) + ℓ^{- 1} P (L_{-}) + m P (L_{0}) = 0,

где $L_{+}, L_{-}, L_{0}$ — зацепления, образованные перестройками у одного пересечения диаграммы, как показано на рисунке.

Многочлен HOMFLY зацепления L, которое является разделённым объединением двух зацеплений $L_{1}$ и $L_{2}$ , задаётся как

P (L) = \frac{- (ℓ + ℓ^{- 1})}{m} P (L_{1}) P (L_{2}) .

Свойства[править]

HOMFLY мултипликативен относительно связной суммы узлов:
$P (L_{1} # L_{2}) = P (L_{1}) \cdot P (L_{2}) .$

Если K′ — отражение зацепления K, то
$P_{K} (ℓ, m) = P_{K^{'}} (ℓ^{- 1}, m),$ .
- В частности, многочлен HOMFLY можно использовать для различения двух узлов разной хиральности. Однако существуют хиральные пары узлов, которые имеют один и тот же многочлен HOMFLY, например, узлы 9₄₂ и 10₇₁^[3]

Примечания[править]

↑ Freyd, P., Yetter, D., Hoste, J., Lickorish, W.B.R., Millett, K., and Ocneanu, A. (1985). «A New Polynomial Invariant of Knots and Links». Bulletin of the American Mathematical Society 12 (2): 239–246. doi:10.1090/S0273-0979-1985-15361-3.
↑ Józef H. Przytycki, .Paweł Traczyk (1987). «Invariants of Links of Conway Type». Kobe J. Math 4: 115—139.
↑ Ramadevi (1994). «Chirality of Knots 9₄₂ and 10₇₁ and Chern—Simons Theory». Modern Physics Letters A 09 (34): 3205–3217. arXiv:hep-th/9401095. doi:10.1142/S0217732394003026.

Литература[править]

Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.

[1] Freyd, P., Yetter, D., Hoste, J., Lickorish, W.B.R., Millett, K., and Ocneanu, A. (1985). «A New Polynomial Invariant of Knots and Links». Bulletin of the American Mathematical Society 12 (2): 239–246. doi:10.1090/S0273-0979-1985-15361-3.

[2] Józef H. Przytycki, .Paweł Traczyk (1987). «Invariants of Links of Conway Type». Kobe J. Math 4: 115—139.

[3] Ramadevi (1994). «Chirality of Knots 9₄₂ and 10₇₁ and Chern—Simons Theory». Modern Physics Letters A 09 (34): 3205–3217. arXiv:hep-th/9401095. doi:10.1142/S0217732394003026.

[1]

[2]

[3]