Группа вращений

Группа вращений (группа поворотов) в механике и геометрии — набор всех вращений вокруг начала координат в трёхмерном евклидовом пространстве ${\mathbb{ℝ}}^3$. По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц $3\times 3$ с определителем 1 (называемой специальной ортогональной группой размерности 3 — $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$).

Свойства

• Все группы вращений $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$, в том числе $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$ и $\mathrm{S}\mathrm{O}(2)$, являются группами Ли.
• Группы вращений $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$ и вообще $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$ при $n>2$ некоммутативны.
• Группа $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$ диффеоморфна проективному пространству размерности 3. По теореме вращения Эйлера любое вращение можно задать прямой (осью вращения, заданной единичным вектором $v$), проходящей через центр координат, и углом $\phi \in [-\pi ,\pi ]$. Можно было бы сопоставить каждому вращению вектор $\phi v$ и тем самым отождествить элементы группы вращения с точками шара радиуса $\pi$. Однако, такое сопоставление не было бы биективным, так как углам $\pi$ и $-\pi$ соответствует одно и то же вращение. Поэтому, отождествив диаметрально противоположные точки на границе шара, получим проективное пространство.
• Универсальная накрывающая группы $\mathrm{S}\mathrm{O}(3)$ является специальной унитарной группой $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$, или, что то же самое, группой единичных по модулю кватернионов (действующих на касательном пространстве к единичной сфере сопряжениями). При этом накрытие двулистно. Группа $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$ различает повороты на углы $\alpha$ и $\alpha +2\pi$, при этом повороту на угол $2\pi$ соответствует элемент $-1$ группы $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$. Именно группа $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$ выступает в квантовой механике как группа симметрий вращения трёхмерного пространства, поэтому она может называться группой квантовых вращений.

Вариации и обобщения

Иногда группами вращений называют специальную ортогональную группу $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$ — группу вращения $n$-мерного евклидова пространства. Особым случай является группа вращений плоскости $\mathrm{S}\mathrm{O}(2)$ или U(1); в отличие от случая вращения трёхмерного пространства, она является коммутативной.

См. также

• Угловой момент
• Углы Эйлера
• Твёрдое тело
• Матрицы Паули

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
• Богопольский О. В. Введение в теорию групп. — М.: Москва-Ижевск: ИКИ, 2002. — 148 с. — ISBN 5-93972-165-6.