Боровская модель атома

Бо́ровская моде́ль а́тома (моде́ль Бо́ра, моде́ль Бо́ра — Резерфо́рда) — полуклассическая модель атома, предложенная Нильсом Бором в 1913 г. За основу он взял планетарную модель атома, выдвинутую Эрнестом Резерфордом. Однако, с точки зрения классической электродинамики, электрон в модели Резерфорда, двигаясь вокруг ядра, должен был бы излучать энергию непрерывно и очень быстро и, потеряв её, упасть на ядро. Чтобы преодолеть эту проблему, Бор ввёл допущение, суть которого заключается в том, что электроны в атоме могут двигаться только по определённым (стационарным) орбитам, находясь на которых они не излучают энергию, а излучение или поглощение происходит только в момент перехода с одной орбиты на другую. Причём, стационарными являются лишь те орбиты, при движении по которым момент количества движения электрона равен целому числу постоянных Планка^[1]: $m_{e} v r = n ℏ$ .

Используя это допущение и законы классической механики, а именно равенство силы притяжения электрона со стороны ядра и центробежной силы, действующей на вращающийся электрон, он получил следующие значения для радиуса стационарной орбиты $R_{n}$ и энергии $E_{n}$ находящегося на этой орбите электрона:

R_{n} = 4 π \frac{ε_{0}}{Z e^{2}} \frac{n^{2} ℏ^{2}}{m_{e}}; E_{n} = - \frac{1}{8 π} \frac{Z e^{2}}{ε_{0}} \frac{1}{R_{n}};

Здесь $m_{e}$ — масса электрона, $Z$ — количество протонов в ядре, $ε_{0}$ — электрическая постоянная, $e$ — заряд электрона.

Именно такое выражение для энергии можно получить, применяя уравнение Шрёдингера в задаче о движении электрона в центральном кулоновском поле.

Радиус первой орбиты в атоме водорода R₀=5,2917720859(36)⋅10⁻¹¹ м^[2], ныне называется боровским радиусом, либо атомной единицей длины и широко используется в современной физике. Энергия первой орбиты $E_{0} = - 13.6$ эВ представляет собой энергию ионизации атома водорода.

Полуклассическая теория Бора[править]

Основана на двух постулатах Бора:

Атом может находиться только в особенных стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых отвечает определённая энергия. В стационарном состоянии атом не излучает электромагнитных волн.
Излучение и поглощение энергии атомом происходит при скачкообразном переходе из одного стационарного состояния в другое, при этом имеют место два соотношения:
1. $ε = E_{n 2} - E_{n 1},$ где $ε$ — излучённая (поглощённая) энергия, $n_{1}, n_{2}$ — номера квантовых состояний. В спектроскопии $E_{n 1}$ и $E_{n 2}$ называются термами.
2. Правило квантования момента импульса: $m υ r = n ℏ,$ $n = 1, 2, 3 . . .$

Далее исходя из соображений классической физики о круговом движении электрона вокруг неподвижного ядра по стационарной орбите под действием кулоновской силы притяжения, Бором были получены выражения для радиусов стационарных орбит и энергии электрона на этих орбитах:

r_{n} = a n^{2},

a = \frac{ℏ^{2}}{k m e^{2}} = 5.3 \cdot 1 0^{- 11}

м — боровский радиус.

E_{n} = - R_{y} \frac{1}{n^{2}},

R_{y} = \frac{m k^{2} e^{4}}{2 ℏ^{2}}

— энергетическая постоянная Ридберга (численно равна 13,6 эВ).

Формула Зоммерфельда — Дирака[править]

Движение электрона вокруг атомного ядра в рамках классической механики можно рассматривать как «линейный осциллятор», который характеризуется «адиабатичным инвариантом», представляющим собой площадь эллипса (в обобщённых координатах):

\oint 𝐩 \cdot 𝐝 𝐪 = \frac{W}{ν} = J

где $𝐩, 𝐪$ — обобщённый импульс и координаты электрона, $W$ — энергия, $ν$ — частота. А квантовый постулат утверждает, что площадь замкнутой кривой в фазовой $p q$ — плоскости за один период движения, равна целому числу, умноженному на постоянную Планка $h$ (Дебай, 1913 г.). С точки зрения рассмотрения постоянной тонкой структуры наиболее интересным является движение релятивистского электрона в поле ядра атома, когда его масса зависит от скорости движения. В этом случае мы имеем два квантовых условия:

J_{1} = n h

,

J_{2} = k h

,

где $n$ определяет главную полуось эллиптической орбиты электрона ( $a$ ), а $k$ — его фокальный параметр $q$ :

a = a_{0} n^{2}

,

q = a_{0} k^{2}

.

В этом случае Зоммерфельд получил выражение для энергии в виде

E = - \frac{R y Z^{2}}{n^{2}} + ϵ (n, k)

.

где $R y$ — постоянная Ридберга, а $Z$ — порядковый номер атома (для водорода $Z = 1$ ).

Дополнительный член $ϵ (n, k)$ отражает более тонкие детали расщепления спектральных термов водородоподобных атомов, а их число определяется квантовым числом $k$ . Таким образом сами спектральные линии представляют собой системы более тонких линий, которые соответствуют переходам между уровнями высшего состояния ( $n = n_{1}, k = 1, 2, . . ., n_{1}$ ) и низшего состояния ( $n = n_{2}, k = 1, 2, . . ., n_{2}$ ). Это и есть т. н. тонкая структура спектральных линий. Зоммерфельд разработал теорию тонкой структуры для водородоподобных атомов ( $H$ , $H e^{+}$ , $L i^{2 +}$ ), а Фаулер с Пашеном на примере спектра однократно ионизированного гелия $H e^{+}$ установили полное соответствие теории с экспериментом.

Зоммерфельд (1916 г.) еще задолго до возникновения квантовой механики Шредингера получил феноменологичную формулу для водородных термов в виде:

E + E_{0} = E_{0} {(1 + \frac{α^{2} Z^{2}}{{(n_{r} + \sqrt{n_{ϕ}^{2} - α^{2} Z^{2}})}^{2}})}^{- 1 / 2}

,

где $α$ — постоянная тонкой структуры, $Z$ — порядковый номер атома, $E_{0} = m c^{2}$ — энергия покоя, $n_{r}$ — радиальное квантовое число, а $n_{ϕ}$ — азимутальное квантовое число. Позднее эту формулу получил Дирак, используя релятивистское уравнения Шрёдингера. Поэтому сейчас эта формула и носит имя Зоммерфельда — Дирака.

Появление тонкой структуры термов связано с прецессией электронов вокруг ядра атома. Поэтому появление тонкой структуры можно обнаружить по резонансному эффекту в области ультракоротких электромагнитных волн. В случае $Z = 1$ (атом водорода) величина расщепления близка к

E / h \approx R α^{2} / n^{2}

Поскольку длина электромагнитной волны равна

λ = c / ν = c h / E = c n^{2} / R α^{2} \approx 0, 17 c m

Поэтому для $n = 2$ это будет почти 1 см.

Достоинства теории Бора[править]

Объяснила дискретность энергетических состояний водородоподобных атомов.
Теория Бора подошла к объяснению внутриатомных процессов с принципиально новых позиций, стала первой полуквантовой теорией атома.
Эвристическое значение теории Бора состоит в смелом предположении о существовании стационарных состояний и скачкообразных переходов между ними. Эти положения позднее были распространены и на другие микросистемы.

Недостатки теории Бора[править]

Не смогла объяснить интенсивность спектральных линий.
Справедлива только для водородоподобных атомов и не работает для атомов, следующих за ним в таблице Менделеева без экспериментальных данных (энергии ионизации или других).
Теория Бора логически противоречива: не является ни классической, ни квантовой. В системе двух уравнений, лежащих в её основе, одно — уравнение движения электрона — классическое, другое — уравнение квантования орбит — квантовое.

Теория Бора являлась недостаточно последовательной и общей. Поэтому она в дальнейшем была заменена современной квантовой механикой, основанной на более общих и непротиворечивых исходных положениях. Сейчас известно, что постулаты Бора являются следствиями более общих квантовых законов. Но правила квантования широко используются и в наши дни как приближённые соотношения: их точность часто бывает очень высокой.

Экспериментальное подтверждение теории Бора[править]

В 1913 году Франк и Герц поставили опыт, косвенно подтверждающий теорию Бора: атомы разреженного газа обстреливались медленными электронами с последующим исследованием распределения электронов по абсолютным значениям скоростей до и после столкновения. При упругом ударе распределение не должно меняться, так как изменяется только направление вектора скорости. Результаты показали, что при скоростях электронов меньше некоторого критического значения удары упруги, а при критической скорости столкновения становятся неупругими, электроны теряют энергию, а атомы газа переходят в возбуждённое состояние. При дальнейшем увеличении скорости удары снова становились упругими, пока не достигалась новая критическая скорость. Наблюдаемое явление позволило сделать вывод о том, что атом может или вообще не поглощать энергию, или же поглощать в количествах равных разности энергий стационарных состояний^{[источник не указан 2223 дня]}.

Примечания[править]

↑ Планетарная модель атома. Постулаты Бора Архивная копия от 21 февраля 2009 на Wayback Machine на Портале Естественных Наук Архивная копия от 26 ноября 2009 на Wayback Machine
↑ Боровский радиус Архивная копия от 11 сентября 2015 на Wayback Machine согласно CODATA

Литература[править]

Борн М. Атомная физика, 2-е изд. — М.: Мир, 1967, 493 с.
Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. — М.: Наука, 1985, 379 с.
Милантьев В. П. История возникновения квантовой механики и развитие представлений об атоме. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2017, 246 с. ISBN 978-5-397-05872-8.

[1] Планетарная модель атома. Постулаты Бора Архивная копия от 21 февраля 2009 на Wayback Machine на Портале Естественных Наук Архивная копия от 26 ноября 2009 на Wayback Machine

[2] Боровский радиус Архивная копия от 11 сентября 2015 на Wayback Machine согласно CODATA

[1]

[2]