Тонкая структура

Тонкая структура (мультиплетное расщепление) — явление в атомной физике, описывающее расщепление спектральных линий (уровней энергии, спектральных терм) атома.

Макроскопическая структура спектральных линий — это число линий и их расположение. Она определяется разницей в энергетических уровнях различных атомных орбиталей. Однако при более детальном исследовании каждая линия проявляет свою детальную тонкую структуру. Эта структура объясняется малыми взаимодействиями, которые немного сдвигают и расщепляют энергетические уровни. Их можно анализировать методами теории возмущений. Тонкая структура атома водорода на самом деле представляет собой две независимые поправки к боровским энергиям: одна из-за релятивистского движения электрона, а вторая из-за спин-орбитального взаимодействия.

Релятивистские поправки[править]

В классической теории кинетический член гамильтониана: $T = \frac{p^{2}}{2 m}$

Однако, учитывая СТО, мы должны использовать релятивистское выражение для кинетической энергии, $T = \sqrt{p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}} - m c^{2}$

где первый член — это общая релятивистская энергия, а второй член — это энергия покоя электрона. Раскладывая это в ряд, получаем

$T = \frac{p^{2}}{2 m} - \frac{p^{4}}{8 m^{3} c^{2}} + \dots$

Отсюда, поправка первого порядка к гамильтониану равна $H^{'} = - \frac{p^{4}}{8 m^{3} c^{2}}$

Используя это как возмущение, мы можем вычислить релятивистские энергетические поправки первого порядка.

$E_{n}^{(1)} = ⟨ ψ^{0} | H^{'} | ψ^{0} ⟩ = - \frac{1}{8 m^{3} c^{2}} ⟨ ψ^{0} | p^{4} | ψ^{0} ⟩ = - \frac{1}{8 m^{3} c^{2}} ⟨ ψ^{0} | p^{2} p^{2} | ψ^{0} ⟩$

где $ψ^{0}$ — невозмущенная волновая функция. Вспоминая невозмущенный гамильтониан, мы видим

$H^{0} | ψ^{0} ⟩ = E_{n} | ψ^{0} ⟩$

$(\frac{p^{2}}{2 m} + U) | ψ^{0} ⟩ = E_{n} | ψ^{0} ⟩$

$p^{2} | ψ^{0} ⟩ = 2 m (E_{n} - U) | ψ^{0} ⟩$

Далее, мы можем использовать этот результат для вычисления релятивистской поправки:

$E_{n}^{(1)} = - \frac{1}{8 m^{3} c^{2}} ⟨ ψ^{0} | p^{2} p^{2} | ψ^{0} ⟩$

$E_{n}^{(1)} = - \frac{1}{8 m^{3} c^{2}} ⟨ ψ^{0} | (2 m)^{2} (E_{n} - U)^{2} | ψ^{0} ⟩$

$E_{n}^{(1)} = - \frac{1}{2 m c^{2}} (E_{n}^{2} - 2 E_{n} ⟨ U ⟩ + ⟨ U^{2} ⟩)$

Для атома водорода, $U = \frac{e^{2}}{r}$ , $⟨ U ⟩ = \frac{e^{2}}{a_{0} n^{2}}$ и $⟨ U^{2} ⟩ = \frac{e^{4}}{(l + 1 / 2) n^{3} a_{0}^{2}}$ где $a_{0}$ — боровский радиус, $n$ — главное квантовое число и $l$ — орбитальное квантовое число. Следовательно, релятивистская поправка для атома водорода равна

$E_{n}^{(1)} = - \frac{1}{2 m c^{2}} (E_{n}^{2} - 2 E_{n} \frac{e^{2}}{a_{0} n^{2}} + \frac{e^{4}}{(l + 1 / 2) n^{3} a_{0}^{2}}) = - \frac{E_{n}^{2}}{2 m c^{2}} (\frac{4 n}{l + 1 / 2} - 3)$

Связь спин-орбита[править]

Поправка спин-орбита появляется, когда мы из стандартной системы отсчёта (где электрон облетает вокруг ядра) переходим в систему, где электрон покоится, а ядро облетает вокруг него. В этом случае движущееся ядро представляет собой эффективную петлю с током, которая в свою очередь создаёт магнитное поле. Однако электрон сам по себе имеет магнитный момент из-за спина. Два магнитных вектора, $\vec{B}$ и ${\vec{μ}}_{s}$ сцепляются вместе так, что появляется определённая энергия, зависящая от их относительной ориентации. Так появляется энергетическая поправка вида $Δ E_{S O} = ξ (r) \vec{L} \cdot \vec{S}$

Спонтанное рождение электронно-позитронных пар[править]

Спонтанное рождение электронно-позитронных пар вблизи электрона приводит к тому, что локализация электрона в атоме в области, меньшей его комптоновской длины волны $Δ x = \frac{ℏ}{m c}$ невозможна и в результате возникает квадратичная флуктуация положения электрона $Δ x^{2}$ . В результате внутри ядра потенциальная энергия электрона изменяется. Сдвиг энергии составляет: $Δ E_{e p} = m (Z α)^{4}$ , где $m$ — масса электрона, $Z$ — эффективный заряд ядра, $α$ — постоянная тонкой структуры.^[1]

См. также[править]

Литература[править]

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) (англ.). — Prentice Hall, 2004.
Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics (англ.). — Addison-Wesley, 2002.

Ссылки[править]

Hyperphysics: Fine Structure

Примечания[править]

↑ В. Тирринг Принципы квантовой электродинамики. М., Высшая школа, 1964. — с. 18-19

[1] В. Тирринг Принципы квантовой электродинамики. М., Высшая школа, 1964. — с. 18-19

[1]