Ёж (топология)

Ёж в общей топологии — пример метризуемого пространства. Строится из центральной точки $O$, единичного полуинтервала $\mathbb{\mathbb{P}}=(0,1]$ и произвольного множества $S$ заданной мощности $\mathfrak{𝔪}$, называемой колючестью ежа, как:

$J(\mathfrak{𝔪})=\{O\}\cup (\mathbb{\mathbb{P}}\times S)$,

с введением метрики следующим образом:

1. $d(O,(x,s))=x$
2. $d((x,s_1),(y,s_2))=\{\begin{array}{ll}|x-y|,& s_1=s_2\\ x+y,& s_1\ne s_2\end{array}$.

Название возникло из-за ассоциации с «иголками» из отрезков, торчащими из точки. «Колючесть» в этой ассоциации сопоставляется с количеством игл. Таким образом, $J(0)$ — просто точка $O$, $J(1)=J(2)$ — отрезок.

Свойства

Ёж заданной колючести не зависит от выбора множества $S$ с точностью до гомеоморфизма.

Теорема Ковальского. Счётная степень ежа колючести $\mathfrak{𝔪}$ (при $\mathfrak{𝔪}\ge {\mathrm{\aleph }}_0$) является универсальным пространством для всех метризуемых пространств веса $\mathfrak{𝔪}$. То есть любое метризуемое пространство веса $\mathfrak{𝔪}$ гомеоморфно подпространству счётной степени ежа колючести $\mathfrak{𝔪}$.

Ёж является полным пространством, также не является вполне ограниченным пространством, при $\mathfrak{𝔪}\ge {\mathrm{\aleph }}_0$, не сильно паракомпактен при $\mathfrak{𝔪}>{\mathrm{\aleph }}_0$.

Не является локально сепарабельным при $\mathfrak{𝔪}>{\mathrm{\aleph }}_0$.

$J(\mathfrak{𝔪})$ вкладывается в $J(\mathfrak{𝔫})$ при $\mathfrak{𝔪}\le \mathfrak{𝔫}$.

$J(\mathfrak{𝔪})$ вкладывается в плоскость ${\mathbb{ℝ}}^2$ только при $\mathfrak{𝔪}<{\mathrm{\aleph }}_0$ .

Если $\mathfrak{𝔪}$ — конечно, то вес, плотность, характер, клеточность и число Линделёфа ежа $J(\mathfrak{𝔪})$ равны ${\mathrm{\aleph }}_0$. Иначе (при $\mathfrak{𝔪}\ge {\mathrm{\aleph }}_0$) характер равен ${\mathrm{\aleph }}_0$, а вес, плотность, клеточность и число Линделёфа равны $\mathfrak{𝔪}$.

Квадрат триода $J(3)$ не вкладывается в трёхмерное евклидово пространство ${\mathbb{ℝ}}^3$.

На плоскости (${\mathbb{ℝ}}^2$) нельзя расположить несчётное количество триодов $J(3)$ так, чтобы они попарно не пересекались.

Открытое отображение ежа — снова ёж не большей колючести (здесь следует аккуратно понимать совпадающие случаи $J(1)$ и $J(2)$).

Литература

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 374-375. — 752 с.