K-теория

K-теория — математическая теория, изучающая кольца, порождённые векторными расслоениями над топологическими пространствами или схемами. В алгебраической топологии эта обобщённая теория когомологий называется топологической K-теорией. В алгебре и алгебраической геометрии соответствующий раздел называется алгебраической K-теорией. Также она играет важную роль в операторных алгебрах и её можно рассматривать как теорию определенных видов инвариантов больших матриц.

K-теория предполагает построение семейств K-функторов, переводящих топологические пространства или схемы в соответствующие кольца; эти кольца отражают некоторые аспекты структуры исходных пространств или схем. Как и с функторами в категорию групп, используемой в алгебраической топологии, это функториальное отображение даёт возможность легче вычислить некоторые топологические свойства из отображенных колец, чем из исходных пространств или схем. Примеры результатов, полученных из подхода K-теории, включают теорему Гротендика — Римана — Роха, периодичность Ботта, теорему индекса Атии — Зингера и операции Адамса.

В физике высоких энергий K-теория и, в частности, K-теория c кручением используется в теории струн типа II, где было высказано предположение, что они классифицируют D-браны, напряжённости поля Рамонда — Рамонда, а также некоторые спиноры на обобщенных комплексных многообразиях.

В физике конденсированного состояния K-теория была использована для классификации топологических изоляторов, сверхпроводников и устойчивых поверхностей Ферми.

Конструкция Гротендика

Конструкция Гротендика является необходимым компонентом для построения K-теории. Пусть $(A,{+}^{\prime })$ -- моноид. Обозначим через $\sim$ следующее отношение эквивалентности на $A\times A:$

$(a_1,a_2)\sim (b_1,b_2)$

если существует $c\in A,$ такое что $a_1{+}^{\prime }{b}_2{+}^{\prime }c=a_2{+}^{\prime }{b}_1{+}^{\prime }c.$ Тогда множество $G(A)=A\times A/\sim$ имеет структуру группы $(G(A),+)$, где:

$[(a_1,a_2)]+[(b_1,b_2)]=[(a_1{+}^{\prime }{b}_1,a_2{+}^{\prime }{b}_2)]$

Классы эквивалентности в этой группе следует рассматривать как формальные разности элементов в абелевом моноиде.

Чтобы лучше понять эту группу, рассмотрим некоторые классы эквивалентности абелева моноида $(A,+)$. Обозначим единицу моноида как $0$. Во-первых, $(0,0)\sim (n,n)$ для любого $n\in A$, так как мы можем положить $c=0$ и применить равенство из соотношения эквивалентности, чтобы получить $n=n$. Это означает

$[(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=0$

следовательно, у нас есть аддитивный обратный для каждого элемента в $G(A)$. Поэтому на классы эквивалентности $[(a,b)]\in G(A)$ можно смотреть как на формальные разности $a-b$. Другим полезным наблюдением является инвариантность классов эквивалентности при масштабировании:

$(a,b)\sim (a+k,b+k)$ для всех $k\in A$

Конструкцию Гротендика можно рассматривать как функтор $G:\mathbf{𝐀}\mathbf{𝐛}\mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}\to \mathbf{𝐀}\mathbf{𝐛}\mathbf{𝐆}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐩}$. Он сопряжён слева по отношению к соответствующему забывающему функтору $U:\mathbf{𝐀}\mathbf{𝐛}\mathbf{𝐆}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐩}\to \mathbf{𝐀}\mathbf{𝐛}\mathbf{𝐌}\mathbf{𝐨}\mathbf{𝐧}.$ Другими словами, если $A$ -- абелев моноид, $B$ -- абелева группа, то каждому гомоморфизму абелевых моноидов $\varphi :A\to U(B)$ можно сопоставить единственный гомоморфизм групп $G(A)\to B$.

Наглядным примером для рассмотрения является абелев моноид $\mathbb{\mathbb{N}}$ -- множество натуральных чисел. Мы можем видеть, что $G((\mathbb{\mathbb{N}},+))=(\mathbb{\mathbb{Z}},+)$. Для любой пары $(a,b)$ мы можем найти минимальный представитель $(a^{\prime },b^{\prime })$, используя инвариантность при масштабировании. Например,

$(4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)$

Вообще, если мы положим $k=\min \{a,b\}$, то найдем, что

$(a,b)\sim (a-k,b-k)$, которое имеет форму $(c,0)$ или $(0,d).$

Это показывает, что мы можем рассматривать $(a,0)$ как положительные целые числа, а $(0,b)$ -- как отрицательные целые числа.

Определения

Существует ряд основных определений K-теории: два из топологии и два из алгебраической геометрии.

Пусть $X$ -- компактное хаусдорфово топологическое пространство. Обозначим как $\text{Vect}(X)$ множество конечномерных векторных расслоений над $X$ с точностью до изоморфизма, и пусть класс изоморфизма векторного расслоения $\pi :E\to X$ обозначается $[E]$. Так как классы изоморфизма векторных расслоений ведут себя хорошо по отношению к прямым суммам, мы можем определить прямую сумму двух элементов $\text{Vect}(X)$ как

$[E]\oplus [E^{\prime }]=[E\oplus E^{\prime }]$

Ясно, что $(\text{Vect}(X),\oplus )$ является абелевым моноидом, где единица задается тривиальным векторным расслоением ${\mathbb{ℝ}}^0\times X\to X$. Тогда мы сможем применить конструкцию Гротендика, чтобы получить абелеву группу из этого абелева моноида. Эта группа называется К-теорией $X$ и обозначается $K^0(X)$.

Теорема Серра—Cвана позволяет дать альтернативное описание векторных расслоений как проективных модулей над кольцом $C^0(X;\mathbb{ℂ})$ непрерывных комплекснозначных функций на $X.$ Затем их можно отождествить с идемпотентными матрицами в некотором кольце матриц $M_{n\times n}(C^0(X;\mathbb{ℂ}))$. Мы можем определить классы эквивалентности идемпотентных матриц и образовать абелев моноид $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">Idem</mrow>}(X)$. Его конструкция Гротендика также называется $K^0(X)$.

В алгебраической геометрии та же конструкция может быть применена к алгебраическим векторным расслоениям над гладкими схемами. Также есть альтернативная конструкция для любой нётеровой схемы $X$. А именно, на множестве $\mathrm{Coh}(X)$ классов изоморфизма когерентных пучков на $X$ можно ввести отношение эквивалентности: $[{ℰ}]=[{{ℰ}}^{\prime }]+[{{ℰ}}^{″}]$ если есть короткая точная последовательность

$0\to {{ℰ}}^{\prime }\to {ℰ}\to {{ℰ}}^{″}\to 0.$

Это дает группу $K_0(X)$, которая изоморфна $K^0(X)$, если схема $X$ гладкая. На группе $K_0(X)$ также есть структура кольца, определяемая как

$[{ℰ}]\cdot [{{ℰ}}^{\prime }]=\sum (-1{)}^k[{\mathrm{Tor}}_k^{{{𝒪}}_X}({ℰ},{{ℰ}}^{\prime })].$

Используя теорему Гротендика — Римана — Роха, мы имеем, что

$\mathrm{ch}:K_0(X)\otimes \mathbb{\mathbb{Q}}\to A(X)\otimes \mathbb{\mathbb{Q}}$

является изоморфизмом колец. Следовательно, мы можем использовать $K_0(X)$ для теории пересечений.

Ранняя история

Можно сказать, что эта тема начинается с Александра Гротендика (1957), который использовал его для формулировки своей теоремы Гротендика — Римана — Роха. Название "K-теория" происходит от немецкого "Klasse" ("класс"). Гротендик исследовал когерентные пучки на алгебраическом многообразии "X". Вместо того, чтобы работать непосредственно с пучками, он определил группу, используя классы изоморфизма пучков как образующие, с соотношением, которое идентифицирует любое расширение двух пучков с их суммой. Получившаяся группа называется " K (X)", когда рассматриваются только локально свободные пучки, или "G (X)", когда все пучки когерентные. Любая из этих двух конструкций называется группой Гротендика "K (X)" имеет когомологическое поведение и "G (X)" имеет гомологическое поведение.

Если " X " - гладкое многообразие, то эти две группы одинаковы. Если это гладкое аффинное многообразие, то все расширения локально свободных пучков расщепляются, таким образом, у группы есть альтернативное определение.

В топологии, применяя ту же конструкцию к векторным расслоениям, Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух определили "K(X)" для топологического пространства "X" в 1959 году и используя теорему о периодичности Ботта они сделали ее основой расширенной теории когомологий. Это сыграло важную роль во втором доказательстве теоремы Атьи — Зингера об индексе (около 1962 года). Кроме того, этот подход привел к некоммутативной K-теории для C*-алгебр.

Уже в 1955 году Жан-Пьер Серр использовал параллель между векторными расслоениями и проективными модулями для формулировки гипотезы Серра, которая утверждает, что каждый конечно порожденный проективный модуль над кольцом многочленов является свободным; это утверждение оказалось верным, но не было доказано лишь 20 лет спустя. (Теорема Серра — Свана является еще одним аспектом этой аналогии.)

Дальнейшее развитие

Другим историческим источником алгебраической K-теории была работа Дж. Г. К. Уайтхеда и соавторов о том, что позже стало известно как кручение Уайтхеда.

Затем последовал период, в течение которого были даны различные частичные определения "высших функторов K-теории". Наконец, два полезных и эквивалентных определения были даны Даниэлем Квилленом с использованием теории гомотопий в 1969 и 1972 гг. Вариант был также дан Фридхельмом Вальдхаузеном для изучения "алгебраической K-теории пространств", которая связана с изучением псевдоизотопий. Много современных исследований высшей K-теории связаны с алгебраической геометрией и изучением мотивных когомологий.

Соответствующие конструкции, задействующие вспомогательную квадратичную форму, получили название L-теории. Это главный инструмент хирургии Морса.

В теории струн, классификация К-теории натяжений полей Рамонда — Рамонда и зарядов стабильных D-бран впервые была предложена в 1997 году.

Примеры

• Самый простой пример группы Гротендика — это группа Гротендика точки $\text{Spec}(\mathbb{𝔽})$ для поля $\mathbb{𝔽}$. Поскольку векторное расслоение над этим пространством является просто конечномерным векторным пространством, который является свободным объектом в категории когерентных пучков (следовательно, и проективным), моноид классов изоморфизма является $\mathbb{\mathbb{N}}$, в соответствии с размерностью векторного пространства. Соответствующая группа Гротендика равна $\mathbb{\mathbb{Z}}$.
• Одним из важных свойств группы Гротендика нётеровой схемы $X$ является то, что $K(X)=K(X_{\text{red}})$. Следовательно, группа Гротендика любой артиновой $\mathbb{𝔽}$-алгебры равна $\mathbb{\mathbb{Z}}$.
• Еще одной важной формулой для группы Гротендика является формула проективного расслоения: если ${ℰ}$ -- векторное расслоение ранга "r" над нётеровой схемой $X$, то группа Гротендика проективного расслоения $\mathbb{\mathbb{P}}({ℰ})=\mathrm{Proj}({\mathrm{Sym}}^{}({{ℰ}}^{\vee }))$ -- это свободный $K(X)$ -модуль ранга "r" с базисом $1,\xi ,\dots ,{\xi }^{n-1}$. Эта формула позволяет вычислить группу Гротендика ${\mathbb{\mathbb{P}}}_{\mathbb{𝔽}}^n$.

Приложения

Виртуальные расслоения

Одним из полезных применений группы Гротендика является определение виртуальных векторных расслоений. Например, если у нас есть вложение гладких пространств $Y\hookrightarrow X$, то есть короткая точная последовательность

$0\to {\mathrm{\Omega }}_Y\to {\mathrm{\Omega }}_X{|}_Y\to C_{Y/X}\to 0$

где $C_{Y/X}$ -- конормальный пучок $Y$ в $X$. Если у нас есть особое пространство $Y$, вложеноое в гладкое пространство $X$, мы определяем виртуальный конормальный пучок как

$[{\mathrm{\Omega }}_X{|}_Y]-[{\mathrm{\Omega }}_Y]$

Другое полезное применение виртуальных расслоений связано с определением виртуального касательного расслоения для пересечения пространств: пусть $Y_1,Y_2\subset X$ -- проективные подмногообразия гладкого проективного многообразия. Тогда мы можем определить виртуальное касательное расслоение их пересечения $Z=Y_1\cap Y_2$ как

$[T_Z{]}^{vir}=[T_{Y_1}]{|}_Z+[T_{Y_2}]{|}_Z-[T_X]{|}_Z.$

Концевич использует эту конструкцию в одной из своих работ.

Характеры Чженя

Классы Чженя могут быть использованы для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в (пополнение) его кольца рациональных когомологий. Символ Чженя "ch" линейного расслоения "L" определяется формулой

$\mathrm{ch}(L)=\exp (c_1(L)):=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_1(L{)}^m}{m!}.$

В более общем случае, если $V=L_1\oplus \dots \oplus L_n$ является прямой суммой линейных расслоений, с первыми классами Чженя $x_i=c_1(L_i),$ характер Чженя определяется аддитивно

$\mathrm{ch}(V)=e^{x_1}+\dots +e^{x_n}:=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m!}(x_1^m+\dots +x_n^m).$

Символ Чженя полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Чженя тензорного произведения. Символ Чженя используется в формулировки теоремы Хирцебруха — Римана — Роха.

Эквивариантная K-теория

Эквивариантная алгебраическая K-теория является алгебраической K-теорией, связанной с категорией ${\mathrm{Coh}}^G(X)$ эквивариантных когерентных пучков на алгебраической схеме $X$ с действием линейной алгебраической группы $G$, через Q-конструкцию Квиллена; таким образом, по определению,

$K_i^G(X)={\pi }_i(B^{+}{\mathrm{Coh}}^G(X)).$

В частности, $K_0^G(C)$ - это Гротендиковская группа ${\mathrm{Coh}}^G(X)$. Эта теория была разработана Р. У. Томасоном в 1980-х годах. В частности, он доказал эквивариантные аналоги фундаментальных теорем, таких как теорема локализации.

См. также

• Периодичность Ботта
• КК-теория
• КР-теория
• Список когомологических теорий
• Алгебраическая К-теория
• Топологическая К-теория
• Операторная К-теория
• Теорема Гротендика — Римана — Роха

Литература

• Атья М. Лекции по K-теории. — М.: Иностранная литература, 1967. — 261 с.

Ссылки

• Michael Atiyah. K-theory. — 2nd. — Addison-Wesley, 1989. — (Advanced Book Classics). — ISBN 978-0-201-09394-0.
• Handbook of K-Theory / Friedlander, Eric; Grayson, Daniel. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005. — ISBN 978-3-540-30436-4. — doi:10.1007/978-3-540-27855-9.
• Park, Efton. Complex Topological K-Theory. — Cambridge University Press, 2008. — Т. 111. — (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 978-0-521-85634-8.
• Swan, R. G.. Algebraic K-Theory. — Springer, 1968. — Т. 76. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-04245-8.
• Karoubi, Max. K-theory: an introduction. — Springer-Verlag, 1978. — (Classics in Mathematics). — ISBN 0-387-08090-2. — doi:10.1007/978-3-540-79890-3.
• Karoubi, Max (2006), K-theory. An elementary introduction, arΧiv:math/0602082. 
• Hatcher, Allen. Vector Bundles & K-Theory  (неопр.) (2003).
• Weibel, Charles. The K-book: an introduction to algebraic K-theory (англ.). — American Math Society, 2013. — Vol. 145. — (Grad. Studies in Math). — ISBN 978-0-8218-9132-2.

Источники

• Grothendieck-Riemann-Roch
• Max Karoubi's Page
• K-theory preprint archive