ARIMA

ARIMA (англ. autoregressive integrated moving average, иногда модель Бокса — Дженкинса, методология Бокса — Дженкинса) — интегрированная модель авторегрессии — скользящего среднего — модель и методология анализа временных рядов. Является расширением моделей ARMA для нестационарных временных рядов, которые можно сделать стационарными взятием разностей некоторого порядка от исходного временного ряда (так называемые интегрированные или разностно-стационарные временные ряды). Модель $ARIMA(p,d,q)$ означает, что разности временного ряда порядка $d$ подчиняются модели $ARMA(p,q)$.

Формальное определение модели

Модель $ARIMA(p,d,q)$ для нестационарного временного ряда $X_t$ имеет вид:

${\mathrm{△}}^d{X}_t=c+\sum _{i=1}^p{a}_i{\mathrm{△}}^d{X}_{t-i}+\sum _{j=1}^q{b}_j{\epsilon }_{t-j}+{\epsilon }_t$

где ${\epsilon }_t$ — стационарный временной ряд;

$c,a_i,b_j$ — параметры модели.

${\mathrm{△}}^d$ — оператор разности временного ряда порядка d (последовательное взятие d раз разностей первого порядка — сначала от временного ряда, затем от полученных разностей первого порядка, затем от второго порядка и т. д.)

Также данная модель интерпретируется как $ARMA(p+d,q)$- модель с $d$ единичными корнями. При $d=0$ имеем обычные $ARMA$-модели.

Операторное представление

С помощью лагового оператора $L:L{x}_t=x_{t-1}$ данные модели можно записать следующим образом:

$(1-L{)}^d{X}_t=c+(\sum _{i=1}^p{a}_i{L}^i)(1-L{)}^d{X}_t+(1+\sum _{j=1}^q{b}_j{L}^j){\epsilon }_t$,

или сокращённо:

$a(L)(1-L{)}^d{X}_t=c+b(L){\epsilon }_t$.

где $a(L)=1-\sum _{i=1}^p{a}_i{L}^i$

$b(L)=1+\sum _{j=1}^q{b}_j{L}^j$

Пример

Простейшим примером ARIMA-модели является известная модель случайного блуждания:

$x_t=x_{t-1}+{\epsilon }_t\Rightarrow \mathrm{△}{x}_t=(1-L)x_t={\epsilon }_t$

Следовательно это модель $ARIMA(0,1,0)$.

Интегрированные временные ряды

Основная статья: Интегрированный временной ряд

ARIMA-модели позволяют моделировать интегрированные или разностно-стационарные временные ряды (DS-ряды, diference stationary).

Временной $X_t$ ряд называется интегрированным порядка $k$ (обычно пишут $X_t\sim I(k)$), если разности ряда порядка $k$, то есть ${\mathrm{△}}^k{x}_t$ являются стационарными, в то время как разности меньшего порядка (включая нулевого порядка, то есть сам временной ряд) не являются стационарными относительно некоторого тренда рядами (TS-рядами, trend stationary). В частности $I(0)$ — это стационарный процесс.

Порядок интегрированности временного ряда и есть порядок $d$ модели $ARIMA(p,d,q)$.

Методология ARIMA (Бокса — Дженкинса)

Подход ARIMA к временным рядам заключается в том, что в первую очередь оценивается стационарность ряда. Различными тестами выявляются наличие единичных корней и порядок интегрированности временного ряда (обычно ограничиваются первым или вторым порядком). Далее при необходимости (если порядок интегрированности больше нуля) ряд преобразуется взятием разности соответствующего порядка и уже для преобразованной модели строится некоторая ARMA-модель, поскольку предполагается, что полученный процесс является стационарным, в отличие от исходного нестационарного процесса (разностно-стационарного или интегрированного процесса порядка $d$).

Модели ARFIMA

Теоретически порядок интегрированности $d$ временного ряда может быть не целой величиной, а дробной. В этом случае говорят о дробно-интегрированных моделях авторегрессии — скользящего среднего (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). Для понимания сущности дробного интегрирования необходимо рассмотреть разложение оператора взятия $d$-ой разности в степенной ряд по степеням лагового оператора для дробных $d$ (разложение в ряд Тейлора):

${\mathrm{△}}^d=(1-L{)}^d=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\prod _{j=0}^{k-1}(d-j)\frac{(-1{)}^k}{k!}{L}^k$.

Литература

• Айвазян С. А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 2. — М.: Юнити-Дана, 2001. — 432 с. — ISBN 5-238-00305-6.
• Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.
• Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И. И. — 2-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2006. — 576 с. — ISBN 5-279-02786-3.