Лаговый оператор

Ла́говый оператор — оператор сдвига, позволяющий получить значения элементов временного ряда на основании ряда предыдущих значений.

Для временного ряда $X=\{X_1,X_2,\dots \}$ лаговый оператор представим в виде:

$L^k{X}_t=X_{t-k}$,

при этом:

• $L^0=1$,
• $L\mu =\mu$ ($\mu =\text{const}$),
• $L^{-1}{X}_t=X_{t+1}$.

При этом оператор $\mathrm{\Delta }=1-L$ создаёт конечную разность 1-го порядка: $\mathrm{\Delta }{X}_t=X_t-X_{t-1}$.

С лаговым оператором неразрывно связано понятие лагового многочлена:

$\mathrm{\Theta }(L)=\sum _{i=0}^N{\theta }_i{L}_i$.

Лаговые многочлены находят своё применение при записи моделей временных рядов. Например, для многочленов $\alpha (L)=\sum _{i=0}^N{\alpha }_i{L}_i$ и $\beta (L)=\sum _{j=0}^M{\beta }_j{L}_j$ написания моделей сводятся к следующим:

Модель	Запись
AR(i)	$\alpha (L)y_t={ϵ}_t$
MA(j)	$y_t=\beta (L){ϵ}_t$
ARMA(i, j)	$\alpha (L)y_t=\beta (L){ϵ}_t$

где ${ϵ}_t$ — белый шум.

В этом случае теорема Волда может быть представлена в виде:

$y_t=\gamma (L){ϵ}_t$,

где:

$\gamma (L)=\frac{\beta (L)}{\alpha (L)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\gamma }_k{L}_k$ ($\gamma (0)=1$).