Теорема Волда

Теорема Волда — утверждение математической статистики, согласно которому каждый слабо стационарный временной ряд можно представить в виде скользящего среднего бесконечного порядка $\mathrm{M}\mathrm{A}(\mathrm{\infty })$. Такое представление называют представлением скользящим средним для временных рядов.

Установлена Херманом Волдом.

Формально:

$Y_t=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_j{\epsilon }_{t-j}+{\eta }_t$,

где:

• $Y_t$ — рассматриваемый временной ряд,
• ${\epsilon }_t$ — белый шум на входе линейного фильтра $\{b_j\}$; также применяется термин «инновация» (англ. innovation)
• $b_j$ — последовательность коэффициентов скользящего среднего (параметров или весов)
• ${\eta }_t$ — детерминированная компонента; равна нулю, если у $Y_t$ нет трендов.

Коэффициенты $b_j$ удовлетворяют следующим условиям:

1. $b_0=1$
2. ряд $b_j$ сходится абсолютно: $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}|b_j|<\mathrm{\infty }$
3. отсутствуют члены с $j<0$
4. постоянны (не зависят от $t$)

Литература

• Anderson, T. W. (1971) The Statistical Analysis of Time Series. Wiley.
• Wold, H. (1954) A Study in the Analysis of Stationary Time Series, Second revised edition, with an Appendix on «Recent Developments in Time Series Analysis» by Peter Whittle. Almqvist and Wiksell Book Co., Uppsala.
• Scargle, J.D. (1981) Studies in astronomical time series analysis. I — Modeling random processes in the time domain,,' 1981, Astrophysical Journal Supplement Series, 45, pp. 1-71.