4-ток

4-ток, четырёхток в специальной и общей теории относительности — лоренц-ковариантный четырёхвектор, который объединяет плотность тока электрических зарядов (или 3-вектор плотности тока любых других частиц) и объёмную плотность заряда (или объёмную концентрацию частиц).

$J^{\mu }=(c\rho ,\mathbf{𝐣}),$

где

$c$ — скорость света,

$\rho$ — скалярная плотность заряда,

$\mathbf{𝐣}=\rho \mathbf{𝐮}$ — 3-вектор плотности тока,

$\mathbf{𝐮}$ — 3-вектор скорости зарядов.

В специальной теории относительности локальное сохранение электрического заряда выражается уравнением непрерывности, которое означает равенство нулю инвариантной дивергенции 4-тока:

$D\cdot J={\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{𝐣}=0,$

где $D$ — 4-векторный оператор, называемый 4-градиентом и определяемый как $(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\mathrm{\nabla })$. Здесь использовано соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам. Вышеприведённое уравнение можно короче записать как

$J^{\mu }{}_{,\mu }=0$

с обычным обозначением частной производной по данной координате как запятой перед соответствующим индексом.

В общей теории относительности уравнение непрерывности записывается так:

$J^{\mu }{}_{;\mu }=0,$

где точка с запятой перед индексом означает ковариантную производную по соответствующей координате.

См. также

• Теорема Нётер.

Литература

• Джексон Дж. Классическая электродинамика. — Москва: Мир, 1965.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля (Теоретическая физика, т. II). — Москва: Физматлит, 2003. — 536 с. — ISBN 5-9221-0056-4.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред (Теоретическая физика, т. VIII). — Москва: Физматлит, 2005. — 656 с. — ISBN 5-9221-0123-4.