Теорема Нётер

Запрос «Вторая теорема Нётер» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья.

Теоре́ма Э́мми Нётер — теорема, доказанная Эмми Нётер в 1918 году. Была впервые определена в работах учёных гёттингенской школы Д. Гильберта, Ф. Клейна и самой Эмми Нётер.

Общие сведения

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность времени	…энергии
⊠ C, P, CP и T-симметрии	Изотропность времени	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца (бусты)	Относительность Лоренц-ковариантность	…движения центра масс
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

Теорема Нётер утверждает, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения:

• однородности времени соответствует закон сохранения энергии,
• однородности пространства соответствует закон сохранения импульса,
• изотропии пространства соответствует закон сохранения момента импульса,
• калибровочной симметрии соответствует закон сохранения электрического заряда и т. д.

Теорема обычно формулируется для систем, обладающих функционалом действия, и выражает собой инвариантность лагранжиана по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований.

Если действие инвариантно относительно n-параметрической непрерывной группы преобразований, то существует n независимых законов сохранения.

Теорема Нётер формулирует достаточное условие существования законов сохранения. Однако это условие не является необходимым, поэтому могут существовать законы сохранения, не следующие из неё (такие примеры известны). Известна теорема, формулирующая необходимые и достаточные условия существования законов сохранения.

Формулировка

Первая теорема Нётер

Если интеграл действия $S$ инвариантен по отношению к некоторой $r$-параметрической конечной группе Ли $G_r$, то $r$ линейно независимых комбинаций лагранжевых производных (левые части уравнений Лагранжа — Эйлера) обращаются в дивергенции; и обратно, из последнего условия вытекает инвариантность $S$ по отношению к некоторой группе $G_r$.

В теоретической физике выражения, стоящие под знаком дивергенций, называются токами. Если лагранжевы производные равны нулю (выполняются уравнения Эйлера), то дивергенции токов обращаются в нуль. Следствием этого являются дифференциальные законы сохранения. Интегральные законы сохранения типа закона сохранения электрического заряда или закона сохранения энергии получаются при интегрировании дифференциальных законов сохранения по специальным образом выбранной 3-мерной гиперповерхности при определённых граничных условиях.

Первая обратная теорема Нётер

Если $r$ линейно независимых комбинаций лагранжевых производных (левые части уравнений Лагранжа — Эйлера) обращаются в дивергенции, то интеграл действия инвариантен относительно $r$-параметрической конечной группы Ли.

Вторая теорема Нётер

Обобщением первой теоремы Нётер для случая функционалов, инвариантных относительно произвольных бесконечных групп Ли $G_{\mathrm{\infty }r}$, является вторая теорема Нётер.

Если интеграл действия $S$ инвариантен по отношению к некоторой $r$-параметрической бесконечной группе Ли $G_{\mathrm{\infty }r}$, в которой встречаются производные до $k$-го порядка включительно, то имеет место $r$ тождественных соотношений между лагранжевыми производными и производными от них до $k$-го порядка. Обратное тоже верно.

Вторая обратная теорема Нётер

Если имеет место $r$ тождественных соотношений между лагранжевыми производными и производными от них до $k$-го порядка включительно, то интеграл действия инвариантен относительно бесконечной группы Ли $G_{\mathrm{\infty }r}$, преобразования которой содержат производные до $k$-го порядка.

Классическая механика

Каждой однопараметрической группе диффеоморфизмов $g^s(q_i)$, сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл системы, равный

$I=\sum _{i=1}^n(\frac{d}{ds}{g}^s(q_i))\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}{|}_{s=0}$

В терминах инфинитезимальных преобразований: пусть инфинитезимальное преобразование координат имеет вид

$g^s(\overrightarrow{q})={\overrightarrow{q}}_0+s\overrightarrow{\psi }(\overrightarrow{q},t)$

и функция Лагранжа $L(q,\dot{q},t)$ инвариантна относительно этих преобразований, то есть

$\frac{d}{ds}L({\overrightarrow{q}}_0+s\overrightarrow{\psi }(\overrightarrow{q},t),\dot{{\overrightarrow{q}}_0}+s\dot{\overrightarrow{\psi }}(\overrightarrow{q},t),t)=0$ при $s=0.$

Тогда у системы существует первый интеграл, равный

$I=(\overrightarrow{\psi }(\overrightarrow{q},t);\frac{\partial L}{\partial \dot{\overrightarrow{q}}})=\sum _{i=1}^n{\psi }_i(\overrightarrow{q},t)\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}.$

Теорему можно обобщить на случай преобразований, затрагивающих также и время, если представить её движение как зависящее от некоторого параметра $\tau$, причем в процессе движения $t=\tau$. Тогда из преобразований

$g^s(\overrightarrow{q})={\overrightarrow{q}}_0+s\overrightarrow{\psi }(\overrightarrow{q},t),$

$g^s(t)=t_0+s\xi (\overrightarrow{q},t),$

следует первый интеграл

$I=\xi L+(\overrightarrow{\psi }-\xi \dot{\overrightarrow{q}};\frac{\partial L}{\partial \dot{\overrightarrow{q}}}).$

Теория поля

Теорема Нётер допускает прямое обобщение на случаи систем с бесконечным числом степеней свободы, примером которых являются гравитационное и электромагнитное поле. А именно, пусть функция Лагранжа системы зависит от $n$ потенциалов, зависящих в свою очередь от $k$ координат. Функционал действия будет иметь вид

$S=\int L(A^i,{\partial }_{\mu }{A}^i,x^{\mu })d\mathrm{\Omega },i=1,\dots ,n,\mu =1,\dots ,k,d\mathrm{\Omega }=d{x}^1\dots d{x}^k.$

Пусть однопараметрическая группа $g^s$ диффеоморфизмов пространства потенциалов сохраняет функцию Лагранжа; тогда сохраняется вектор

$J^{\mu }=\left(\frac{d}{ds}{g}^s{A}^i\right)\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{A}^i)},$

называемый вектором потока Нётер. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование: ${\partial }_{\mu }=\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}$. Смысл сохранения вектора потока Нётер в том, что

${\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0,$

поэтому поток $J$ через любую замкнутую поверхность в пространстве координат равен 0. В частности, если выделить среди координат одну, называемую временем, и рассмотреть гиперплоскости постоянного времени, то поток $J$ через такую гиперплоскость постоянен во времени при условии достаточно быстрого спадания поля на бесконечности и некомпактности гиперповерхности, чтобы поток вектора через боковую границу области пространства между двумя гиперповерхностями был равен 0. В классической теории поля таким свойством обладает, например, тензор энергии-импульса для электромагнитного поля. В вакууме лагранжиан поля не зависит явно от координат, поэтому имеется сохраняющаяся величина, ассоциируемая с потоком энергии-импульса.

Дифференциальные уравнения

Пусть имеется вариационная задача с функционалом действия $S=\int L(\overrightarrow{u},\overrightarrow{x},\dots )d\mathit{x}$. Здесь $L$ — лагранжиан, $x$ — независимые переменные, $u$ — зависимые переменные, то есть функции от $x$. $L$ может зависеть также и от производных $u$ по $x$, не обязательно первого порядка.

Вариационная задача для такого функционала приводит к дифференциальным уравнениям Эйлера — Лагранжа, которые можно записать в виде

${\mathrm{E}}_{\mathrm{\alpha }}(L)=0,\alpha =1\dots q,$

где $\mathrm{E}$ — операторы Эйлера — Лагранжа:

${\mathrm{E}}_{\mathrm{\alpha }}=\frac{\partial }{\partial u_{\alpha }}-\sum _{i=1}^p\frac{d}{d{x}_i}\frac{\partial }{\partial u_{x_i}^{\alpha }}+\dots ,$

$u_{x_i}^{\alpha }$ — производная функции $u^{\alpha }$ по переменной $x_i$. Многоточие означает, что если $L$ зависит от производных порядка выше первого, то нужно добавить соответствующие слагаемые в $\mathrm{E}$. В компактной записи

${\mathrm{E}}_{\mathrm{\alpha }}=\sum _J(-D{)}_J\frac{\partial }{\partial u_J^{\alpha }}$,

где $J$ — мультииндекс. Суммирование ведётся по всем таким слагаемым, что производная $u_J^{\alpha }$ входит в $L$.

Теорема Нётер связывает так называемые вариационные симметрии функционала $S$ с законами сохранения, выполняющимися на решениях уравнений Эйлера — Лагранжа.

Законы сохранения

Закон сохранения для системы дифференциальных уравнений — это выражение вида

$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{P}=0,$

которое справедливо на решениях этой системы, то есть такое, что если подставить в него эти дифференциальные уравнения, получится тождество. В данном случае рассматриваются дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа. Здесь $\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}$ — полная дивергенция (дивергенция с полными производными) по $x$. $\overrightarrow{P}$ — гладкие функции $u$, $x$ и производных $u$ по $x$.

Тривиальными законами сохранения называются законы сохранения

• для которых $\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{P}=0$ само по себе является тождеством без учёта каких-либо дифференциальных уравнений;
• или для которых $\overrightarrow{P}$ обращается в 0 сразу при подстановке дифференциальных уравнений, без вычисления дивергенции (сохраняется тождественный ноль на решениях);
• или для которых $\overrightarrow{P}$ есть линейная комбинация предыдущих типов.

Если для двух законов сохранения с функциями $\overrightarrow{P}$ и $\overrightarrow{R}$ разность $\overrightarrow{P}-\overrightarrow{R}$ даёт тривиальный закон сохранения, такие два закона сохранения называются эквивалентными.

Всякий закон сохранения эквивалентен закону сохранения в характеристической форме — то есть такому, для которого

$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{P}=\overrightarrow{Q}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\Delta }},$

где $\mathrm{\Delta }$ — выражения, которые входят в определение системы дифференциальных уравнений: $\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}=0$. Для описываемого случая ${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }=E_{\alpha }(L)$ и

$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{P}=\sum _{\alpha }{Q}_{\alpha }{E}_{\alpha }(L).$

$Q_{\alpha }$ зависят от $u$, $x$ и производных $u$ по $x$ и называются характеристиками закона сохранения.

Вариационные симметрии

Пусть имеется обобщённое векторное поле

$\overrightarrow{v}=\sum _{i=1}^p{\xi }^i\frac{\partial }{\partial x^i}+\sum _{\alpha =1}^q{\phi }_{\alpha }\frac{\partial }{\partial u^{\alpha }}.$

«Обобщённое» понимается в том смысле, что $\xi$ и $\phi$ могут зависеть не только от $u$ и $x$, но и от производных $u$ по $x$.

Определение: $\overrightarrow{v}$ называется вариационной симметрией функционала $S$, если существует такой набор функций $\overrightarrow{\mathrm{B}}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{x},\dots )$, что

$\mathrm{p}\mathrm{r}\overrightarrow{v}(L)+L\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{\xi }=\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{\mathrm{B}}.$

$\mathrm{p}\mathrm{r}\overrightarrow{v}$ — продолжение $\overrightarrow{v}$. Продолжение учитывает, что действие $\overrightarrow{v}$ на $u$ и $x$ вызывает также инфинитезимальное изменение производных, и задаётся формулами

$\mathrm{p}\mathrm{r}\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\sum _{\alpha ,J}{\phi }_{\alpha }^J\frac{\partial }{\partial u_J^{\alpha }},{\phi }_{\alpha }^J=D_J({\phi }_{\alpha }-\sum _i{\xi }^i{u}_i^{\alpha }).$

В формуле для продолжения необходимо брать, кроме $\overrightarrow{v}$, слагаемые с такими $\partial /\partial u_J^{\alpha }$, для которых $u_J^{\alpha }$ входят в $L$ или, в общем случае, в то выражение, на которое продолжение действует.

Смысл определения вариационной симметрии состоит в том, что $\overrightarrow{v}$ — это инфинитезимальные преобразования, которые в первом порядке меняют функционал $S$ таким образом, что уравнения Эйлера — Лагранжа преобразуются в эквивалентные. Справедлива

теорема: если $\overrightarrow{v}$ является вариационной симметрией, то $\overrightarrow{v}$ является (обобщённой) симметрией уравнений Эйлера — Лагранжа:

$\mathrm{p}\mathrm{r}\overrightarrow{v}{\mathrm{E}}_{\alpha }(L){|}_{{\mathrm{E}}_{\alpha }(L)=0}=0.$

Эта формула означает, что инфинитезимальные изменения выражений ${\mathrm{E}}_{\alpha }(L)$, записанные здесь в виде $\mathrm{p}\mathrm{r}\overrightarrow{v}{\mathrm{E}}_{\alpha }(L)$, обращаются в 0 на решениях.

Характеристики векторных полей

Набор функций $Q_{\alpha }={\phi }_{\alpha }-\sum _i{\xi }^i{u}_i^{\alpha }$ (в обозначениях, данных выше) называется характеристикой векторного поля $\overrightarrow{v}$. Вместо $\overrightarrow{v}$ можно брать векторное поле

${\overrightarrow{v}}_Q=\sum _{\alpha }{Q}_{\alpha }\frac{\partial }{\partial u^{\alpha }},$

которое называется эволюционным представителем $\overrightarrow{v}$.

$\overrightarrow{v}$ и ${\overrightarrow{v}}_Q$ определяют по сути одну и ту же симметрию, поэтому, если известны характеристики $Q_{\alpha }$, можно считать, что тем самым задана и симметрия. Продолжение ${\overrightarrow{v}}_Q$ определяется аналогично продолжению $\overrightarrow{v}$, но формально проще, поскольку не нужно отдельно учитывать вклад от $\xi$.

Теорема Нётер устанавливает связь между характеристиками законов сохранения и характеристиками векторных полей.

Теорема Нётер

Обобщённое векторное поле $\overrightarrow{v}$ определяет группу симметрий функционала $S$ в том и только в том случае, если его характеристика $\overrightarrow{Q}$ является характеристикой закона сохранения $\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{P}=0$ для соответствующих уравнений Эйлера — Лагранжа.

Законы сохранения

В классической механике законы сохранения энергии, импульса и момента импульса выводятся из однородности/изотропности лагранжиана системы — лагранжиан (функция Лагранжа) не меняется со временем сам по себе и не изменяется переносом или поворотом системы в пространстве. По сути это означает то, что при рассмотрении некой замкнутой в лаборатории системы будут получены одни и те же результаты вне зависимости от расположения лаборатории и времени проведения эксперимента. Другие симметрии лагранжиана системы, если они есть, соответствуют другим сохраняющимся в данной системе величинам (интегралам движения); например, симметрия лагранжиана гравитационной и кулоновской задачи двух тел приводит к сохранению не только энергии, импульса и момента импульса, но и вектора Лапласа — Рунге — Ленца.

Приложения

Теорема Нётер позволяет получать значительную информацию о свойствах решений системы дифференциальных уравнений, основываясь лишь на их симметрии. Она также является одним из методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, так как позволяет в некоторых случаях находить первые интегралы системы уравнений и таким образом понижать число неизвестных функций. Например:

• Сохранение импульса системы следует из её инвариантности относительно пространственных сдвигов. Конкретнее: если сдвиг вдоль оси X не меняет систему уравнений, то вдоль этой оси сохраняется импульс $p_x$.
• Сохранение момента импульса следует из инвариантности системы относительно вращений пространства.
• Закон сохранения энергии — это следствие однородности времени, позволяющей произвольным образом сдвигать начало отсчёта времени.

В случае уравнений в частных производных необходимо, вообще говоря, искать бесконечное число первых интегралов. Даже зная их, обычно нелегко выписать общее решение.

В силу своей фундаментальности теорема Нётер используется в таких областях физики, как квантовая механика, для самого введения понятий импульса, момента импульса и т. д. Инвариантность уравнений относительно некоторых симметрий становится единственной сутью этих величин и гарантирует их сохранение.

В квантовой теории поля аналогом теоремы Нётер являются тождества Уорда — Такахаси, позволяющие получить дополнительные законы сохранения. Например, закон сохранения электрического заряда следует из инвариантности физической системы относительно изменения фазы комплексной волновой функции частицы и соответствующей калибровки векторного и скалярного потенциала электромагнитного поля.

Заряд Нётер также используется для вычисления энтропии стационарной чёрной дыры.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — Изд. 5-е. — М.: Эдиториал УРСС, 2003. — ISBN 5-354-00341-5.
• Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983. — 280 с.
• Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — М.: Наука, 1961. — 228 с.

Ссылки

• Перевод статьи Нётер на английский
• Статья о Теореме Нётер, by John Baez (англ.)
• E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws by Nina Byers
• Теорема Нётер на MathPages. (англ.)
• Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem. (англ.)
• Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G. On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory. — J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; arXiv 0807.3003.
• Яковенко Г. Н. Теорема Эмми Нётер в курсе теоретической механики МФТИ // на портале кафедры