Преобразование Лапласа

Символы со сходным начертанием: L · Ⅼ · Լ · լ · ւ

Преобразова́ние Лапла́са (ℒ) — интегральное преобразование, связывающее функцию $F(s)$ комплексного переменного (изображение) с функцией $f(t)$ вещественного переменного (оригинал), преобразуя функцию вещественного переменного в функцию комплексного переменного. В прикладных задачах $t$ удобно трактовать как время во временной области. С помощью преобразования Лапласа исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими. Дифференцирование и вычисление интеграла в результате преобразования Лапласа заменяются более простыми операциями умножения и деления, подобно тому как, в свою очередь, логарифм также обеспечивает упрощение математических операций сводя операции умножения и деления к сложению и вычитанию. После осуществления преобразования Лапласа, осуществленного для упрощения операций, может быть произведено обратное преобразования Лапласа для возврата к области функции вещественного переменного.

Определение

Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной $f(t)$ называется функция $F(s)$ комплексной переменной $s=\sigma +i\omega$, такая что:

$F(s)={ℒ}\{f(t)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Функцию $f(t)$ называют оригиналом в преобразовании Лапласа, а функцию $F(s)$ называют изображением функции $f(t)$.

В литературе связь между оригиналом и изображением часто обозначают так: $f(t)\risingdotseq F(s)$ и $F(s)\fallingdotseq f(t)$, причём изображение принято записывать с заглавной буквы.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного $F(s)$ называется функция $f(t)$ вещественной переменной, такая что:

$f(t)={{ℒ}}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi i}\underset{\omega \to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{{\sigma }_1-i\omega }{\overset{{\sigma }_1+i\omega }{\int }}{e}^{st}F(s)ds,$

где ${\sigma }_1$ — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Основная статья: Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции $f(x)$ участвуют значения $x<0$.

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

$F(s)={ℒ}\{f(x)\}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-sx}f(x)dx.$

Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.

Различают $D$-преобразование и $Z$-преобразование.

• $D$-преобразование

Пусть $x_d(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x(nT)\cdot \delta (t-nT)$ — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени $nT$, где $n$ — целое число, а $T$ — период дискретизации.

Тогда, применяя преобразование Лапласа, получим:

${𝒟}\{x_d(t)\}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x(nT)\cdot e^{-snT}.$

• $Z$-преобразование

Основная статья: Z-преобразование

Если применить следующую замену переменных:

$z=e^{sT},$

получим $Z$-преобразование:

${𝒵}\{x_d(t)\}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}x(nT)\cdot z^{-n}.$

Свойства и теоремы

• Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при $\sigma ={\sigma }_0$, то есть существует предел

$\underset{b\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{b}{\int }}|f(x)|e^{-{\sigma }_{0}x}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|e^{-{\sigma }_{0}x}dx,$

то он сходится абсолютно и равномерно для $\sigma ⩾{\sigma }_0$ и $F(s)$ — аналитическая функция при $\sigma ⩾{\sigma }_0$ ($\sigma =\mathrm{R}\mathrm{e}s$ — вещественная часть комплексной переменной $s$). Точная нижняя грань ${\sigma }_a$ множества чисел $\sigma$, при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции $f(x)$.

• Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа ${ℒ}\{f(x)\}$ существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

1. $\sigma ⩾0$: преобразование Лапласа существует, если существует интеграл $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x)|dx$;
2. $\sigma >{\sigma }_a$: преобразование Лапласа существует, если интеграл $\underset{0}{\overset{x_1}{\int }}|f(x)|dx$ существует для каждого конечного $x_1>0$ и $|f(x)|⩽K{e}^{{\sigma }_{a}x}$ для $x>x_2⩾0$;
3. $\sigma >0$ или $\sigma >{\sigma }_a$ (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции $f^{\prime }(x)$ (производная от $f(x)$) для $\sigma >{\sigma }_a$.

Примечание: это достаточные условия существования.

• Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение $F(s)$ — аналитическая функция для $\sigma ⩾{\sigma }_a$ и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём ${{ℒ}}^{-1}\{F(s)\}=0$ для $t⩽0$.
2. Пусть $F(s)=\phi [F_1(s),F_2(s),\dots ,F_n(s)]$, так что $\phi (z_1,z_2,\dots ,z_n)$ аналитична относительно каждого $z_k$ и равна нулю для $z_1=z_2=\dots =z_n=0$, и $F_k(s)={ℒ}\{f_k(x)\}(\sigma >{\sigma }_{ak}:k=1,2,\dots ,n)$, тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

• Теорема о свёртке

Основная статья: Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

${ℒ}\{f(x)*g(x)\}={ℒ}\{f(x)\}\cdot {ℒ}\{g(x)\}.$

Доказательство

Для свёртки

$(f*g)(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dyf(x-y)g(y)$

Преобразование Лапласа:

${ℒ}\{(f*g)(x)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{e}^{-sx}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dyf(x-y)g(y)$

Для новой переменной $t=x-y,x=t+y$

${ℒ}\{(f*g)(x)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt{e}^{-s(t+y)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dyf(t)g(y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt{e}^{-st}f(t)\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dy{e}^{-sy}g(y)={ℒ}\{f(x)\}\cdot {ℒ}\{g(x)\}$

■

• Умножение изображений

$f(x)g(0)+\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(x-\tau )g^{\prime }(\tau )d\tau =sF(s)G(s).$

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

• Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

${ℒ}\{f^{\prime }(x)\}=s\cdot F(s)-f(0^{+}).$

В более общем случае (производная $n$-го порядка):

${ℒ}\{f^{(n)}(x)\}=s^n\cdot F(s)-s^{n-1}f(0^{+})-s^{n-2}{f}^{(1)}(0^{+})-\dots -s{f}^{(n-2)}(0^{+})-f^{(n-1)}(0^{+}).$

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

${ℒ}\{\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt\}=\frac{F(s)}{s}.$

• Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

${{ℒ}}^{-1}\{F^{\prime }(s)\}=-xf(x).$

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

${{ℒ}}^{-1}\{\underset{s}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}F(s)ds\}=\frac{f(x)}{x}.$

• Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

${ℒ}\{e^{ax}f(x)\}=F(s-a);$

${{ℒ}}^{-1}\{F(s-a)\}=e^{ax}f(x).$

Запаздывание оригинала:

${ℒ}\{f(t-a)H(t-a)\}=e^{-as}F(s);$

${{ℒ}}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=f(x-a)H(x-a).$

где $H(x)$ — функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

$f(\mathrm{\infty })=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$, если все полюсы функции $sF(s)$ находятся в левой полуплоскости.

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

• Другие свойства

Линейность:

${ℒ}\{af(x)+bg(x)\}=aF(s)+bG(s).$

Умножение на число:

${ℒ}\{f(ax)\}=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right).$

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

№	Функция	Временная область $x(t)={{ℒ}}^{-1}\{X(s)\}$	Частотная область $X(s)={ℒ}\{x(t)\}$	Область сходимости для причинных систем
1	дельта-функция	$\delta (t)$	$1$	$\mathrm{\forall }s$
1a	запаздывающая дельта-функция	$\delta (t-\tau )$	$e^{-\tau s}$
2	запаздывание $n$-го порядка с частотным сдвигом	$\frac{(t-\tau {)}^n}{n!}{e}^{-\alpha (t-\tau )}\cdot H(t-\tau )$	$\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$	$s>0$
2a	степенная $n$-го порядка	$\frac{t^n}{n!}\cdot H(t)$	$\frac{1}{s^{n+1}}$	$s>0$
2a.1	степенная $q$-го порядка	$\frac{t^q}{\mathrm{\Gamma }(q+1)}\cdot H(t)$	$\frac{1}{s^{q+1}}$	$s>0$
2a.2	функция Хевисайда	$H(t)$	$\frac{1}{s}$	$s>0$
2b	функция Хевисайда с запаздыванием	$H(t-\tau )$	$\frac{e^{-\tau s}}{s}$	$s>0$
2c	«ступенька скорости»	$t\cdot H(t)$	$\frac{1}{s^2}$	$s>0$
2d	$n$-го порядка с частотным сдвигом	$\frac{t^n}{n!}{e}^{-\alpha t}\cdot H(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$	$s>-\alpha$
2d.1	экспоненциальное затухание	$e^{-\alpha t}\cdot H(t)$	$\frac{1}{s+\alpha }$	$s>-\alpha$
3	экспоненциальное приближение	$(1-e^{-\alpha t})\cdot H(t)$	$\frac{\alpha }{s(s+\alpha )}$	$s>0$
4	синус	$\sin (\omega t)\cdot H(t)$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$	$s>0$
5	косинус	$\cos (\omega t)\cdot H(t)$	$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$	$s>0$
6	гиперболический синус	$\mathrm{s}\mathrm{h}(\alpha t)\cdot H(t)$	$\frac{\alpha }{s^2-{\alpha }^2}$	$s>|\alpha |$
7	гиперболический косинус	$\mathrm{c}\mathrm{h}(\alpha t)\cdot H(t)$	$\frac{s}{s^2-{\alpha }^2}$	$s>|\alpha |$
8	экспоненциально затухающий синус	$e^{-\alpha t}\sin (\omega t)\cdot H(t)$	$\frac{\omega }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	$s>-\alpha$
9	экспоненциально затухающий косинус	$e^{-\alpha t}\cos (\omega t)\cdot H(t)$	$\frac{s+\alpha }{(s+\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	$s>-\alpha$
10	корень $n$-го порядка	$\sqrt[n]{t}\cdot H(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{n})$	$s>0$
11	натуральный логарифм	$\ln \left(\frac{t}{t_0}\right)\cdot H(t)$	$-\frac{t_0}{s}[\ln (t_{0}s)+\gamma ]$	$s>0$
12	функция Бесселя первого рода порядка $n$	$J_n(\omega t)\cdot H(t)$	$\frac{{\omega }^n{(s+\sqrt{s^2+{\omega }^2})}^{-n}}{\sqrt{s^2+{\omega }^2}}$	$s>0$ $(n>-1)$
13	модифицированная функция Бесселя первого рода порядка $n$	$I_n(\omega t)\cdot H(t)$	$\frac{{\omega }^n{(s+\sqrt{s^2-{\omega }^2})}^{-n}}{\sqrt{s^2-{\omega }^2}}$	$s>|\omega |$
14	функция Бесселя второго рода нулевого порядка	$Y_0(\alpha t)\cdot H(t)$	$-\frac{2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{h}(s/\alpha )}{\pi \sqrt{s^2+{\alpha }^2}}$	$s>0$
15	модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка	$K_0(\alpha t)\cdot H(t)$
16	функция ошибок	$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(t)\cdot H(t)$	$\frac{e^{s^2/4}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}(s/2)}{s}$	$s>0$
Примечания к таблице: $H(t)$ — функция Хевисайда; $\delta (t)$ — дельта-функция; $\mathrm{\Gamma }(z)$ — гамма-функция; $\gamma$ — постоянная Эйлера — Маскерони; $t$ — вещественная переменная; $s$ — комплексная переменная; $\alpha$, $\beta$, $\tau$ и $\omega$ — вещественные числа; $n$ — целое число. Причинная система — система, в которой импульсная передаточная функция $h(t)$ равна нулю для любого момента времени $t<0$.

Применения преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники:

• Решение систем дифференциальных и интегральных уравнений — с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий математического анализа к простым алгебраическим соотношениям.
• Расчёт передаточных функций динамических систем, таких, к примеру, как аналоговые фильтры.
• Расчёт выходных сигналов динамических систем в теории управления и обработке сигналов — так как выходной сигнал линейной стационарной системы равен свёртке её импульсной характеристики с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.
• Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.
• Решение нестационарных задач математической физики.

Процедура решения дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа состоит в следующем:

1. По заданному входном воздействию с помощью таблиц соответствий находят изображение.
2. По д.у. составляю передаточную функцию.
3. Находят изображение величины пунктов 1 и 2.
4. Определяют оригинал.

Связь с другими преобразованиями

Фундаментальные связи

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа — Карсона

Преобразование Лапласа — Карсона (иногда называют просто преобразование Карсона, иногда, не совсем корректно, используют преобразование Карсона, называя его преобразованием Лапласа) получается из преобразования Лапласа путём домножения изображения на комплексную переменную:

${{ℒ}}_K\{f(x)\}=sF(s).$

Преобразование Карсона широко используется в теории электрических цепей, так как при таком преобразовании размерности изображения и оригинала совпадают, поэтому коэффициенты передаточных функций имеют физический смысл.

Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа ${{ℒ}}_B$ связано с односторонним с помощью следующей формулы:

${{ℒ}}_B\{f(x);s\}={ℒ}\{f(x);s\}+{ℒ}\{f(-x);-s\}.$

Преобразование Фурье

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом $s=i\omega$:

$F(\omega )={ℱ}\{f(x)\}={ℒ}\{f(x)\}{|}_{s=i\omega }=F(s){|}_{s=i\omega }=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-i\omega x}f(x)dx.$

Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$, который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина

$G(s)={ℳ}\{g(\theta )\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\theta }^s\frac{g(\theta )}{\theta }d\theta$

положим $\theta =e^{-x}$, то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование

$Z$-преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

$z\equiv e^{sT},$

где $T=1/f_s$ — период дискретизации, а $f_s$ — частота дискретизации сигнала.

Связь выражается с помощью следующего соотношения:

$X_q(s)=X(z){|}_{z=e^{sT}}.$

Преобразование Бореля

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

См. также

• Первая теорема разложения
• Вторая теорема разложения
• Преобразование Фурье
• D с чертой-преобразование
• Дифференциальные уравнения

Литература

• Ван дер Поль Б., Бремер Х. . Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.
• Диткин В. А., Прудников А. П. . Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.
• Диткин В. А., Кузнецов П. И. . Справочник по операционному исчислению: Основы теории и таблицы формул. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 256 с.
• Карслоу Х., Егер Д. . Операционные методы в прикладной математике. — М.: Издательство иностранной литературы, 1948. — 294 с.
• Кожевников Н. И., Краснощёкова Т. И., Шишкин Н. Е. . Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.
• Краснов М. Л., Макаренко Г. И. . Операционное исчисление. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1964. — 103 с.
• Микусинский Я. . Операторное исчисление. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956. — 367 с.
• Романовский П. И. . Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1980. — 336 с.

Ссылки

• Преобразование Лапласа и его некоторые свойства (dsplib.org) Архивная копия от 12 августа 2018 на Wayback Machine
• Преобразование Лапласа на сайте exponenta.ru