Функция ошибок

График функции ошибок

Функция ошибок (также называемая функция ошибок Гаусса) — не элементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

$\mathrm{erf}x=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$.

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая $\mathrm{erfc}x$ (иногда применяется обозначение $\mathrm{Erf}x$), определяется через функцию ошибок:

$\mathrm{erfc}x=1-\mathrm{erf}x=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$.

Комплексная функция ошибок, обозначаемая $w(x)$, также определяется через функцию ошибок:

$w(x)=e^{-x^2}\mathrm{erfc}(-ix)$.

Свойства

• Функция ошибок нечётна:

$\mathrm{erf}(-x)=-\mathrm{erf}x.$

• Для любого комплексного $x$ выполняется

$\mathrm{erf}\overline{x}=\overline{\mathrm{erf}x}$

где черта обозначает комплексное сопряжение числа $x$.

• Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:

$\mathrm{erf}x=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{n!(2n+1)}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\cdots )$

Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного $x$, так и на всей комплексной плоскости, согласно признаку Д’Аламбера. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.

• Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:

$\mathrm{erf}x=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(x\prod _{i=1}^n\frac{-(2i-1)x^2}{i(2i+1)}\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x}{2n+1}\prod _{i=1}^n\frac{-x^2}{i}$

поскольку $\frac{-(2i-1)x^2}{i(2i+1)}$ — сомножитель, превращающий $i$-й член ряда в $(i+1)$-й, считая первым членом $x$.

• Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:

• При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка $z=\mathrm{\infty }$ будет для неё существенно особой.

• Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:

$\frac{d}{dx}\mathrm{erf}x=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}.$

• Первообразная функции ошибок, получаемая способом интегрирования по частям:

$F(x)=x\mathrm{erf}(x)+\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi }}.$

• Обратная функция ошибок представляет собой ряд

${\mathrm{erf}}^{-1}x=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_k}{2k+1}{\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}x\right)}^{2k+1},$

где c₀ = 1 и

$c_k=\sum _{m=0}^{k-1}\frac{c_m{c}_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}=\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\dots \}.$

Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):

${\mathrm{erf}}^{-1}x=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }(x+\frac{\pi x^3}{12}+\frac{7{\pi }^2{x}^5}{480}+\frac{127{\pi }^3{x}^7}{40320}+\frac{4369{\pi }^4{x}^9}{5806080}+\frac{34807{\pi }^5{x}^{11}}{182476800}+\dots ).$[1]

Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.

Дополнительная функция ошибок

Применение

Если набор случайных величин подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением $\sigma$, то вероятность, что величина отклонится от среднего не более чем на $a$, равна $\mathrm{erf}\frac{a}{\sigma \sqrt{2}}$.

Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с начальными условиями, описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).

В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.

Асимптотическое разложение

При больших $x$ полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

$\mathrm{erfc}x=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi }}[1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^2{)}^n}]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(2n)!}{n!(2x{)}^{2n}}.$

Хотя для любого конечного $x$ этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления $\mathrm{erfc}x$ с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой

$(\mathrm{erf}x{)}^2\approx 1-\exp (-x^2\frac{4/\pi +a{x}^2}{1+a{x}^2})$

где

$a=\frac{8}{3\pi }\frac{\pi -3}{4-\pi }.$

Родственные функции

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым $\mathrm{\Phi }(x)$

$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{1}{2}(1+\mathrm{erf}\frac{x}{\sqrt{2}}).$

Обратная функция к $\mathrm{\Phi }$, известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается $\mathrm{probit}$ и выражается через нормальную функцию ошибок как

$\mathrm{probit}p={\mathrm{\Phi }}^{-1}(p)=\sqrt{2}{\mathrm{erf}}^{}(2p-1).$

Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):

$\mathrm{erf}x=\frac{2x}{\sqrt{\pi }}{}_1{F}_1(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2).$

Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,

$\mathrm{erf}x=\mathrm{sign}xP(\frac{1}{2},x^2)=\frac{\mathrm{sign}x}{\sqrt{\pi }}\gamma (\frac{1}{2},x^2).$

Обобщённые функции ошибок

График обобщённых функций ошибок $E_n(x)$:
серая линия: $E_1(x)=(1-e^{-x})/\sqrt{\pi }$
красная линия: $E_2(x)=\mathrm{erf}x$
зелёная линия: $E_3(x)$
синяя линия: $E_4(x)$
жёлтая линия: $E_5(x)$.

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

$E_n(x)=\frac{n!}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^n}\mathrm{d}t=\frac{n!}{\sqrt{\pi }}\sum _{p=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}.$

Примечательными частными случаями являются:

• $E_0(x)$ — прямая линия, проходящая через начало координат: $E_0(x)=\frac{x}{e\sqrt{\pi }}$
• $E_2(x)$ — функция ошибок $\mathrm{erf}x$.

После деления на $n!$ все $E_n$ с нечётными $n$ выглядят похоже (но не идентично), это же можно сказать про $E_n$ с чётными $n$. Все обобщённые функции ошибок с $n>0$ выглядят похоже на полуоси $x>0$.

На полуоси $x>0$ все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:

$E_n(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(n)(\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{n}\right)-\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{n},x^n))}{\sqrt{\pi }},x>0$

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

$\mathrm{erf}x=1-\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2},x^2)}{\sqrt{\pi }}$

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок

Повторные интегралы ${\mathrm{I}}^{\mathrm{n}}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}$ дополнительной функции ошибок определяются как

${\mathrm{I}}^{\mathrm{0}}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}z=\mathrm{erfc}z$,

${\mathrm{I}}^{\mathrm{n}}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}z=\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{I}}^{\mathrm{n-1}}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}\zeta d\zeta ,$ для $n>0$.

Их можно разложить в ряд:

${\mathrm{I}}^{\mathrm{n}}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}z=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-z{)}^j}{2^{n-j}j!\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n-j}{2})},$

откуда следуют свойства симметрии

${\mathrm{I}}^{\mathrm{2m}}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}(-z)=-{\mathrm{I}}^{\mathrm{2m}}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}z+\sum _{q=0}^m\frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}$

и

${\mathrm{I}}^{\mathrm{2m+1}}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}(-z)={\mathrm{I}}^{\mathrm{2m+1}}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}z+\sum _{q=0}^m\frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}.$

Реализации

В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, пункт 7.12.8) предусмотрены функция ошибок $\mathrm{erf}$ и дополнительная функция ошибок $\mathrm{erfc}$. Функции объявлены в заголовочных файлах math.h (для Си) или cmath (для C++). Там же объявлены пары функций erff(), erfcf() и erfl(), erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта «Boost».

В языке Java стандартная библиотека математических функций java.lang.Math не содержит функцию ошибок. Класс Erf можно найти в пакете org.apache.commons.math.special из не стандартной библиотеки, поставляемой Apache Software Foundation.

Системы компьютерной алгебры Maple[2], Matlab[3], Mathematica и Maxima[4] содержат обычную и дополнительную функции ошибок, а также обратные к ним функции.

В языке Python функция ошибок доступна из стандартной библиотеки math, начиная с версии 2.7. Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special проекта SciPy[5].

В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля math.

В Excel функция ошибок представлена, как ФОШ и ФОШ.ТОЧН

См. также

• Функция Гаусса
• Функция Доусона
• Гауссов интеграл

Литература

• Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. & Flannery, Brian P. (2007), Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. — Т. 7.
• Nikolai G. Lehtinen. Error functions  (неопр.) (апрель 2010). Дата обращения: 25 мая 2019.

Ссылки

• MathWorld — Erf
• Онлайновый калькулятор Erf и много других специальных функций (до 6 знаков)
• Онлайновый калькулятор, вычисляющий в том числе Erf