Теорема о свёртке

Теорема о свёртке — математическое утверждение, которое гласит, что при подходящих условиях преобразование Фурье свёртки двух функций (или сигналов) является поточечным произведением их преобразований Фурье. В более общем случае свёртка в одной области (например, во временной) равна точечному умножению в другой области (например, в частотной). Другие версии теоремы о свёртке применимы к различным преобразованиям Фурье.

Функции непрерывной переменной

Рассмотрим две функции $u(x)$ и $v(x)$ с соответствующими преобразованиями Фурье $U$ и $V$:

$\begin{array}{rl}U(f)& \triangleq {ℱ}\{u\}(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}u(x)e^{-i2\pi fx}dx,f\in \mathbb{ℝ}\\ V(f)& \triangleq {ℱ}\{v\}(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}v(x)e^{-i2\pi fx}dx,f\in \mathbb{ℝ},\end{array}$

где ${ℱ}$ обозначает оператор преобразования Фурье. Преобразование может быть нормализовано и другим способом, при котором постоянные коэффициенты масштаба (обычно $2\pi$ или $\sqrt{2\pi }$) будут фигурировать в теореме о свёртке ниже. Свёртка $u(x)$ и $v(x)$ определяется как:

$r(x)=\{u*v\}(x)\triangleq \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}u(\tau )v(x-\tau )d\tau =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}u(x-\tau )v(\tau )d\tau .$

В данном контексте звёздочка обозначает свёртку, а не обычное умножение. Вместо этого иногда используется символ тензорного произведения $\otimes$.

Теорема о свёртке утверждает, что:

$R(f)\triangleq {ℱ}\{r\}(f)=U(f)V(f).f\in \mathbb{ℝ}$

(Ур. 1a)

Применение обратного преобразования Фурье ${{ℱ}}^{-1},$ даёт следствие:

Теорема о свёртке $r(x)=\{u*v\}(x)={{ℱ}}^{-1}\{U\cdot V\},$ где $\cdot$ обозначает поточечное произведение

(Ур. 1b)

Теорема также в общем случае применима к функциям нескольких переменных.

Вывод ур. 1 для функций нескольких переменных

Рассмотрим функции $u,v$ в Lp-пространстве $L^1({\mathbb{ℝ}}^n),$ и преобразования Фурье $U,V$: $\begin{array}{rl}U(f)& \triangleq {ℱ}\{u\}(f)=\underset{{\mathbb{ℝ}}^n}{\int }u(x)e^{-i2\pi f\cdot x}dx,f\in {\mathbb{ℝ}}^n\\ V(f)& \triangleq {ℱ}\{v\}(f)=\underset{{\mathbb{ℝ}}^n}{\int }v(x)e^{-i2\pi f\cdot x}dx,\end{array}$ где $f\cdot x$ обозначает скалярное произведение в ${\mathbb{ℝ}}^n$: $f\cdot x=\sum _{j=1}^n{f}_j{x}_j$ и $dx=\prod _{j=1}^{n}d{x}_j.$ Свёртка $u$ и $v$ определяется как: $r(x)\triangleq \underset{{\mathbb{ℝ}}^n}{\int }u(\tau )v(x-\tau )d\tau .$ Также: $\iint |u(\tau )v(x-\tau )|dxd\tau =\int (|u(\tau )|\int |v(x-\tau )|dx)d\tau =\int |u(\tau )|\Vert v{\Vert }_{1}d\tau =\Vert u{\Vert }_1\Vert v{\Vert }_1.$ Отсюда по теореме Фубини следует, что $r\in L^1({\mathbb{ℝ}}^n)$. Поэтому его преобразование Фурье $R$ определяется интегральной формулой: $\begin{array}{rl}R(f)\triangleq {ℱ}\{r\}(f)& =\underset{{\mathbb{ℝ}}^n}{\int }r(x)e^{-i2\pi f\cdot x}dx\\ & =\underset{{\mathbb{ℝ}}^n}{\int }(\underset{{\mathbb{ℝ}}^n}{\int }u(\tau )v(x-\tau )d\tau )e^{-i2\pi f\cdot x}dx.\end{array}$ Отметим, что, отсюда по приведённому выше аргументу можно снова применить теорему Фубини (то есть поменять порядок интегрирования): $\begin{array}{rl}R(f)& =\underset{{\mathbb{ℝ}}^n}{\int }u(\tau )\underset{V(f)e^{-i2\pi f\cdot \tau }}{\underbrace{(\underset{{\mathbb{ℝ}}^n}{\int }v(x-\tau )e^{-i2\pi f\cdot x}dx)}}d\tau \\ & =\underset{U(f)}{\underbrace{(\underset{{\mathbb{ℝ}}^n}{\int }u(\tau )e^{-i2\pi f\cdot \tau }d\tau )}}V(f).\end{array}$

Эта теорема также справедлива для преобразования Лапласа, двустороннего преобразования Лапласа и, при соответствующей модификации, для преобразования Меллина и преобразования Хартли (см. теорему об инверсии Меллина). Она может быть распространена на преобразование Фурье абстрактного гармонического анализа, определённого над локально компактными абелевыми группами.

Периодическая свёртка (коэффициенты ряда Фурье)

Рассмотрим $P$-периодическую функцию $u_{{}_P}$ и $v_{{}_P}$, которые могут быть выражены как периодические суммы:

$u_{{}_P}(x)\triangleq \sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(x-mP)$ и $v_{{}_P}(x)\triangleq \sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}v(x-mP).$

На практике ненулевая часть компонентов $u$ и $v$ часто ограничивается продолжительностью $P$, но ничто в теореме этого не требует.

Коэффициенты ряда Фурье:

$\begin{array}{rl}U[k]& \triangleq {ℱ}\{u_{{}_P}\}[k]=\frac{1}{P}\underset{P}{\int }{u}_{{}_P}(x)e^{-i2\pi kx/P}dx,k\in \mathbb{\mathbb{Z}};\text{интегрирование по любому интервалу длины }P\\ V[k]& \triangleq {ℱ}\{v_{{}_P}\}[k]=\frac{1}{P}\underset{P}{\int }{v}_{{}_P}(x)e^{-i2\pi kx/P}dx,k\in \mathbb{\mathbb{Z}}\end{array}$

где ${ℱ}$ обозначает интеграл ряда Фурье.

• Поточечное произведение $u_{{}_P}(x)\cdot v_{{}_P}(x)$ также $P$-периодично, и его коэффициенты ряда Фурье задаются дискретной свёрткой $U$ и $V$:
• Свёртка:

$\begin{array}{rl}\{u_{{}_P}*v\}(x)& \triangleq \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}_{{}_P}(x-\tau )\cdot v(\tau )d\tau \\ & \equiv \underset{P}{\int }{u}_{{}_P}(x-\tau )\cdot v_{{}_P}(\tau )d\tau ;\text{интегрирование по любому интервалу длины }P\end{array}$

также Р-периодична и называется периодической свёрткой.

Вывод периодической свёртки

$\begin{array}{rl}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}_{{}_P}(x-\tau )\cdot v(\tau )d\tau & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[\underset{x_o+kP}{\overset{x_o+(k+1)P}{\int }}{u}_{{}_P}(x-\tau )\cdot v(\tau )d\tau ]x_0\text{ — произвольный параметр}\\ & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[\underset{x_o}{\overset{x_o+P}{\int }}\underset{u_{{}_P}(x-\tau ),\text{ по периодичности}}{\underbrace{u_{{}_P}(x-\tau -kP)}}\cdot v(\tau +kP)d\tau ]\text{замена }\tau \to \tau +kP\\ & =\underset{x_o}{\overset{x_o+P}{\int }}{u}_{{}_P}(x-\tau )\cdot \underset{\triangleq v_{{}_P}(\tau )}{\underbrace{[\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}v(\tau +kP)]}}d\tau \end{array}$

Соответствующая теорема свёртки имеет вид:

${ℱ}\{u_{{}_P}*v\}[k]=P\cdot U[k]V[k].$

(Ур. 2)

Вывод ур. 2

$\begin{array}{rl}{ℱ}\{u_{{}_P}*v\}[k]& \triangleq \frac{1}{P}\underset{P}{\int }(\underset{P}{\int }{u}_{{}_P}(\tau )\cdot v_{{}_P}(x-\tau )d\tau )e^{-i2\pi kx/P}dx\\ & =\underset{P}{\int }{u}_{{}_P}(\tau )(\frac{1}{P}\underset{P}{\int }{v}_{{}_P}(x-\tau )e^{-i2\pi kx/P}dx)d\tau \\ & =\underset{P}{\int }{u}_{{}_P}(\tau )e^{-i2\pi k\tau /P}\underset{V[k],\text{ по периодичности}}{\underbrace{(\frac{1}{P}\underset{P}{\int }{v}_{{}_P}(x-\tau )e^{-i2\pi k(x-\tau )/P}dx)}}d\tau \\ & =\underset{P\cdot U[k]}{\underbrace{(\underset{P}{\int }{u}_{{}_P}(\tau )e^{-i2\pi k\tau /P}d\tau )}}V[k].\end{array}$

Функции дискретной переменной (последовательности)

Аналогично ур. 1 выводится теорема для случая последовательностей, например, выборок двух непрерывных функций, где теперь F обозначает оператор дискретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ). Рассмотрим две последовательности $u[n]$ и $v[n]$ с преобразованиями $U$ и $V$:

$\begin{array}{rl}U(f)& \triangleq {ℱ}\{u\}(f)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u[n]\cdot e^{-i2\pi fn},f\in \mathbb{ℝ},\\ V(f)& \triangleq {ℱ}\{v\}(f)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}v[n]\cdot e^{-i2\pi fn},f\in \mathbb{ℝ}.\end{array}$

Дискретная свёртка $u$ и $v$ определяется:

$r[n]\triangleq (u*v)[n]=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u[m]\cdot v[n-m]=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u[n-m]\cdot v[m].$

Теорема о свёртке для дискретных последовательностей имеет вид:

$R(f)={ℱ}\{u*v\}(f)=U(f)V(f).$

(Ур. 3)

Периодическая свёртка

$U(f)$ и $V(f)$, как определено выше, являются периодическими с периодом 1. Рассмотрим $N$-периодические последовательности $u_{{}_N}$ и $v_{{}_N}$:

$u_{{}_N}[n]\triangleq \sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u[n-mN]$ и $v_{{}_N}[n]\triangleq \sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}v[n-mN],n\in \mathbb{\mathbb{Z}}.$

Эти функции возникают в результате выборки $U$ и $V$ с интервалом в $1/N$ и обратного дискретного преобразования Фурье (ДПФ) на N выборках. Дискретная свёртка имеет вид:

$\{u_{{}_N}*v\}[n]\triangleq \sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{u}_{{}_N}[m]\cdot v[n-m]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}{u}_{{}_N}[m]\cdot v_{{}_N}[n-m],$

она также является $N$-периодической и называется периодической свёрткой. Переопределим оператор ${ℱ}$ как N-значное ДПФ, тогда соответствующая теорема имеет вид:

${ℱ}\{u_{{}_N}*v\}[k]=\underset{U(k/N)}{\underbrace{{ℱ}\{u_{{}_N}\}[k]}}\cdot \underset{V(k/N)}{\underbrace{{ℱ}\{v_{{}_N}\}[k]}},k\in \mathbb{\mathbb{Z}}.$

(Ур. 4a)

И следовательно:

$\{u_{{}_N}*v\}[n]={{ℱ}}^{-1}\{{ℱ}\{u_{{}_N}\}\cdot {ℱ}\{v_{{}_N}\}\}.$

(Ур. 4b)

При соответствующих условиях возможно, что $N$-значная последовательность содержит не содержащий искажений сегмент свёртки $u*v$. Но когда ненулевая часть $u(n)$ или $v(n)$ последовательности равна или длиннее, чем $N$, неизбежны некоторые искажения. Так происходит, когда последовательность 𝑉(𝑘/𝑁) получается путём прямой дискретизации DTFT бесконечно длинного импульсного отклика § Дискретного преобразования Гильберта.

Для последовательностей $u$ и $v$, ненулевая длина которых меньше или равна $N$, окончательное упрощение имеет вид:

Периодическая свёртка $\{u_{{}_N}*v\}[n]={{ℱ}}^{-1}\{{ℱ}\{u\}\cdot {ℱ}\{v\}\}.$

(Ур. 4c)

Эта форма часто используется для эффективной реализации численной свёртки на компьютере. В качестве частичной взаимности было показано, что любое линейное преобразование, превращающее свёртку в точечное произведение, является ДПФ (вплоть до перестановки коэффициентов).

Вывод ур. 4

Вывод во временной области осуществляется следующим образом: $\begin{array}{rl}\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{u_{{}_N}*v\}[k]& \triangleq \sum _{n=0}^{N-1}(\sum _{m=0}^{N-1}{u}_{{}_N}[m]\cdot v_{{}_N}[n-m])e^{-i2\pi kn/N}\\ & =\sum _{m=0}^{N-1}{u}_{{}_N}[m](\sum _{n=0}^{N-1}{v}_{{}_N}[n-m]\cdot e^{-i2\pi kn/N})\\ & =\sum _{m=0}^{N-1}{u}_{{}_N}[m]\cdot e^{-i2\pi km/N}\underset{\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{v_{{}_N}\}[k]\text{due to periodicity}}{\underbrace{(\sum _{n=0}^{N-1}{v}_{{}_N}[n-m]\cdot e^{-i2\pi k(n-m)/N})}}\\ & =\underset{\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{u_{{}_N}\}[k]}{\underbrace{(\sum _{m=0}^{N-1}{u}_{{}_N}[m]\cdot e^{-i2\pi km/N})}}(\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{v_{{}_N}\}[k]).\end{array}$ ДВПФ можно записать в виде: ${ℱ}\{u_{{}_N}*v\}(f)=\frac{1}{N}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{u_{{}_N}*v\}[k])\cdot \delta (f-k/N).\mathsf{(}\mathsf{E}\mathsf{q}\mathsf{.}\mathsf{5}\mathsf{a}\mathsf{)}$ ${ℱ}\{u_{{}_N}\}(f)=\frac{1}{N}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{u_{{}_N}\}[k])\cdot \delta (f-k/N).$ Произведение $V(f)$ тем самым сводится к дискретно-частотной функции: $\begin{array}{rl}{ℱ}\{u_{{}_N}*v\}(f)& =G_{{}_N}(f)V(f)\\ & =\frac{1}{N}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{u_{{}_N}\}[k])\cdot V(f)\cdot \delta (f-k/N)\\ & =\frac{1}{N}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{u_{{}_N}\}[k])\cdot V(k/N)\cdot \delta (f-k/N)\\ & =\frac{1}{N}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{u_{{}_N}\}[k])\cdot (\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{v_{{}_N}\}[k])\cdot \delta (f-k/N),\mathsf{(}\mathsf{E}\mathsf{q}\mathsf{.}\mathsf{5}\mathsf{b}\mathsf{)}\end{array}$ где эквивалентность $V(k/N)$ и $(\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{v_{{}_N}\}[k])$ следует по свойству выборки ДВПФ. Таким образом, эквивалентность (5a) и (5b) требует: $\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{u_{{}_N}*v\}[k]=(\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{u_{{}_N}\}[k])\cdot (\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{v_{{}_N}\}[k]).$ Мы также можем проверить обратное ДВПФ из (5b): $\begin{array}{rl}(u_{{}_N}*v)[n]& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\frac{1}{N}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{u_{{}_N}\}[k]\cdot \mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{v_{{}_N}\}[k]\cdot \delta (f-k/N))\cdot e^{i2\pi fn}df\\ & =\frac{1}{N}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{u_{{}_N}\}[k]\cdot \mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{v_{{}_N}\}[k]\cdot \underset{\text{0, for}k\notin [0,N)}{\underbrace{(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\delta (f-k/N)\cdot e^{i2\pi fn}df)}}\\ & =\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}(\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{u_{{}_N}\}[k]\cdot \mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{v_{{}_N}\}[k])\cdot e^{i2\pi \frac{n}{N}k}\\ & ={\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}}^{-1}(\mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{u_{{}_N}\}\cdot \mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{T}\{v_{{}_N}\}).\end{array}$

Теорема свёртки для обратного преобразования Фурье

Существует также теорема свёртки для обратного преобразования Фурье. Здесь «$\cdot$» представляет собой произведение Адамара, а «$*$» представляет свёртку двух матриц.

$\begin{array}{rl}& {ℱ}\{u*v\}={ℱ}\{u\}\cdot {ℱ}\{v\}\\ & {ℱ}\{u\cdot v\}={ℱ}\{u\}*{ℱ}\{v\}\end{array}$

так что

$\begin{array}{rl}& u*v={{ℱ}}^{-1}\{{ℱ}\{u\}\cdot {ℱ}\{v\}\}\\ & u\cdot v={{ℱ}}^{-1}\{{ℱ}\{u\}*{ℱ}\{v\}\}\end{array}$

Теорема свёртки для обобщённых функций умеренного роста

Теорема о свёртке распространяется на обобщённые функции умеренного роста. Здесь v — произвольная обобщённая функция умеренного роста:

$\begin{array}{rl}& {ℱ}\{u*v\}={ℱ}\{u\}\cdot {ℱ}\{v\}\\ & {ℱ}\{\alpha \cdot v\}={ℱ}\{\alpha \}*{ℱ}\{v\}.\end{array}$

Но $u=F\{\alpha \}$ должно «быстро убывать» по направлению к $-\mathrm{\infty }$ и $+\mathrm{\infty }$, чтобы гарантировать существование как свёртки, так и её произведения. Эквивалентно, если $\alpha =F^{-1}\{u\}$ — гладкая «медленно растущая» обыкновенная функция, то она гарантирует существование как умножения, так и произведения свёрток.

В частности, каждое компактно поддерживаемая обобщённая функция умеренного роста, например, дельта-функция, является «быстро убывающей». Эквивалентно, полосовые функции, такие как функция, которая постоянно равна $1$, являются гладкими «медленно растущими» обычными функциями. Если, например, $v\equiv \text{Ш}$ является гребнем Дирака, то оба уравнения дают формулу суммирования Пуассона, и если, кроме того, $\alpha \equiv 1$ является дельта-функцией, то $\alpha \equiv 1$ постоянно равно единице, и эти уравнения дают тождество гребня Дирака.