Число Брюно

Число Брюно — иррациональное число $\alpha$, для которого конечна функция Брюно $B(\alpha )$ — бесконечная сумма:

$B(\alpha )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\log q_{n+1}}{q_n}$

($q_n$ — знаменатель $n$-го члена $\frac{p_n}{q_n}$ непрерывная дроби разложения $\alpha$).

Функция Брюно $B(x)$ определена для иррационального $x$ и удовлетворяет следующим условиям:

$B(x)=B(x+1)$

$B(x)=-\log x+xB(1/x)$ для всех иррациональных $x$ от 0 до 1.

Числа открыты и изучены советским математиком Александра Брюно в работе 1971 году, в которой улучшено диофантово условие в теореме Зигеля: ростки голоморфных функций с линейной частью $e^{2\pi i\alpha }$ линеаризуемы, если $\alpha$ — число Брюно. В 1987 году Жан-Кристоф Йоккоз показал, что это условие является необходимым, причём для квадратичных многочленов оно не только необходимо, но и достаточно.

У чисел Брюно существует не так много больших «скачков» в последовательностях в которых знаменатель $(n+1)$-го сходящегося числа экспоненциально больше, чем знаменатель $n$-го сходящегося числа. В отличие от чисел Лиувилля они не могут быть необычно^{[уточнить]} точными диофантовыми приближениями рациональных чисел.