Гиперболические числа

О гиперкомплексных числах параболического типа см. дуальные числа

Гиперболические числа, или двойны́е чи́сла, паракомпле́ксные чи́сла, расщепля́емые компле́ксные чи́сла, компле́ксные чи́сла гиперболи́ческого ти́па, контркомпле́ксные чи́сла — гиперкомплексные числа вида «a + j · b», где a и b — вещественные числа и $j^2=1,$ причём j ≠ ±1.

Определение

Алгебраическое определение

Любое гиперболическое число можно представить как упорядоченную пару вещественных чисел $(x,y).$ Сложение и умножение определяются по правилам:

$(x,y)+(x^{\prime },y^{\prime })=(x+x^{\prime },y+y^{\prime }),$

$(x,y)\cdot (x^{\prime },y^{\prime })=(x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime },x{y}^{\prime }+y{x}^{\prime }).$

Числа вида $(a,0)$ отождествляются с вещественными числами, а $j=(0,1).$ Тогда соответствующие тождества принимают вид:

$(x+jy)+(x^{\prime }+j{y}^{\prime })=(x+x^{\prime })+j(y+y^{\prime }),$

$(x+jy)\cdot (x^{\prime }+j{y}^{\prime })=(x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime })+j(x{y}^{\prime }+y{x}^{\prime }).$

Матричное представление

Гиперболические числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению и умножению гиперболических чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц:

$j=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),$

$x+jy=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ y& x\end{array}\right).$

Арифметические операции

• Сложение:

  $(a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j.$

• Вычитание:

  $(a+bj)-(c+dj)=(a-c)+(b-d)j.$

• Умножение:

  $(a+bj)\cdot (c+dj)=(ac+bd)+(bc+ad)j.$

• Деление на число, не являющееся делителем нуля:

  $\frac{a+bj}{c+dj}=\frac{ac-bd}{c^2-d^2}+\frac{bc-ad}{c^2-d^2}j.$

Свойства

${\mathrm{e}}^{jx}=\mathrm{ch}x+j\mathrm{sh}x,$ где sh и ch — гиперболические синус и косинус.

$\mathrm{sh}jx=j\mathrm{sh}x$

$\mathrm{ch}jx=\mathrm{ch}x$

Гиперболические числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. Алгебра гиперболических чисел содержит делители нуля (то есть такие ненулевые элементы z и w, что zw = 0) и поэтому, в отличие от алгебры комплексных чисел, не является полем. Все делители нуля имеют вид $a\cdot (1\pm j).$

Если взять $\alpha =(1+j)/2$ и $\beta =(1-j)/2,$ то

$\alpha \beta =0,$ ${\alpha }^2=\alpha$ и ${\beta }^2=\beta .$

Любое гиперболическое число может быть представлено как сумма $\alpha x+\beta y,$ где $x$ и $y$ — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно.

Таким образом, алгебра гиперболических чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.

Применение

Гиперболические числа иногда применяются в релятивистской кинематике.