Циркулянт

Циркулянт или циркулянтная матрица — это квадратная матрица, в которой все строки состоят из одинаковых элементов и каждая строка циклически сдвинута на один элемент направо относительно предыдущей строки:

$C=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\\ a_n& a_1& \cdots & a_{n-1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_2& a_3& \cdots & a_1\\ \end{array}\right),$

где все $a_i$ — комплексные числа. Циркулянт можно также кратко описать как $C_{ij}=a_{j-i+1(\mathrm{mod}n)},i,j=1,\dots ,n$. Таким образом, циркулянт — это матрица, в которой любая следующая строка (столбец), начиная с первой (с первого) получается циклической алфавитной перестановкой элементов предыдущей строки (столбца). Любая циркулянтная матрица по определению является тёплицевой.

Также циркулянтом часто называют определитель такой матрицы.

Свойства

Пусть $A$ и $B$ — циркулянтные матрицы. Тогда выполняются следующие свойства.

• $AB=BA$ и $AB$ — циркулянт.
• Матрицы $\bar{A}$ (поэлементно комплексно сопряжённая), $A^{\mathrm{T}}$ (транспонированная) и $A^{*}$ (эрмитово сопряжённая) — циркулянтные.
• Матрица $A^k$ циркулянтная при $k⩾0$.
• Если $A$ невырождена, то $A^{-1}$ циркулянтная.
• Матрица $A$ — персимметричная и нормальная.

Определитель

Обозначим $\zeta$ первообразный корень из единицы степени $n$. Тогда имеет место следующая формула для определителя циркулянта $C$:

$\det C=\prod _{k=0}^{n-1}(a_1+a_2{\zeta }^k+\dots +a_{n-1}{\zeta }^{k(n-2)}+a_n{\zeta }^{k(n-1)})$

Доказательство

Обозначим $f(x)=a_1+a_{2}x+\dots +a_n{x}^{n-1}$ и ${\zeta }_k={\zeta }^k$. Умножим циркулянт справа на определитель Вандермонда вида $|{\zeta }_j^{i-1}{|}_{n\times n}$:

$\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\\ a_n& a_1& \cdots & a_{n-1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_2& a_3& \cdots & a_1\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ {\zeta }_1& {\zeta }_2& \cdots & {\zeta }_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\zeta }_1^{n-1}& {\zeta }_2^{n-1}& \cdots & {\zeta }_n^{n-1}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}f({\zeta }_1)& f({\zeta }_2)& \cdots & f({\zeta }_n)\\ {\zeta }_{1}f({\zeta }_1)& {\zeta }_{2}f({\zeta }_2)& \cdots & {\zeta }_{n}f({\zeta }_n)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\zeta }_1^{n-1}f({\zeta }_1)& {\zeta }_2^{n-1}f({\zeta }_2)& \cdots & {\zeta }_n^{n-1}f({\zeta }_n)\end{array}\right|=$

$=f({\zeta }_1)f({\zeta }_2)\dots f({\zeta }_n)\cdot \left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ {\zeta }_1& {\zeta }_2& \cdots & {\zeta }_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\zeta }_1^{n-1}& {\zeta }_2^{n-1}& \cdots & {\zeta }_n^{n-1}\end{array}\right|$

Далее сокращаем определитель Вандермонда как ненулевой.■

Иными словами, собственные числа циркулянта равны дискретному преобразованию Фурье вектора $(a_1,\dots ,a_n)$.

Примеры

Для $n=2$ определитель циркулянта равен:

$\det \left(\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ a_2& a_1\end{array}\right)=(a_1-a_2)(a_1+a_2).$

Для $n=3,{\omega }^3=1,\omega \ne 1$:

$\det \left(\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ a_3& a_1& a_2\\ a_2& a_3& a_1\end{array}\right)=(a_1+a_2+a_3)(a_1+a_2\omega +a_3{\omega }^2)(a_1+a_2{\omega }^2+a_3\omega ).$

Связанные определения

Антициркулянт

Антициркулянт — это матрица аналогичного вида:

$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& -a_n& -a_{n-1}& \cdots & -a_2\\ a_2& a_1& -a_n& \cdots & -a_3\\ a_3& a_2& a_1& \cdots & -a_4\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n& a_{n-1}& a_2& \cdots & a_1\\ \end{array}\right).$

Косоциркулянт

Матрица вида

$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& \phi a_n& \phi a_{n-1}& \cdots & \phi a_2\\ a_2& a_1& \phi a_n& \cdots & \phi a_3\\ a_3& a_2& a_1& \cdots & \phi a_4\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \cdots & a_1\end{array}\right)$

называется $\phi$-косоциркулянтом порядка $n$ при $\phi \ne 0$.

Очевидно, что циркулянт является $(1)$-косоциркулянтом, а антициркулянт — $(-1)$-косоциркулянтом.

См. также

• Ганкелева матрица

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Circulant Matrix (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• Мальцев, А. И. Основы линейной алгебры (рус.). — М.: Наука, 1975. — 400 с.
• Davis, P. J. Circulant Matrices (англ.). — John Wiley & Sons, 1979. — ISBN 0-471-05771-1.
• Aldrovandi, R. Special matrices of mathematical physics: stochastic, circulant and Bell matrices (англ.). — World Scientific, 2001. — ISBN 9810247087.
• Bini, D., Pan, V. Y. Polynomial and matrix computations (англ.). — Birkhäuser Boston, 1994. — ISBN 0-8176-3786-9.
• Воеводин, В. В., Тыртышников, Е. Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами (рус.). — М.: Наука, 1987. — 320 с.