Матрица Тёплица

Матрица Тёплица (диагонально-постоянная матрица) — матрица, в которой на всех диагоналях, параллельных главной, стоят равные элементы:

$A=\left[\begin{array}{cccccc}{a}_0& a_{-1}& a_{-2}& \dots & \dots & a_{-n+1}\\ a_1& a_0& a_{-1}& \ddots & & ⋮\\ a_2& a_1& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & a_{-1}& a_{-2}\\ ⋮& & \ddots & a_1& a_0& a_{-1}\\ a_{n-1}& \dots & \dots & a_2& a_1& a_0\end{array}\right]$,

то есть выполняется соотношение:

$a_{i,j}=a_{i-1,j-1}$.

Названы в честь немецкого математика Отто Тёплица.

Пример

Матрица 4×5:

$M=\left(\begin{array}{ccccc}4& 5& 6& 7& 8\\ 3& 4& 5& 6& 7\\ 2& 3& 4& 5& 6\\ 1& 2& 3& 4& 5\\ \end{array}\right)$

Свойства

Две матрицы Тёплица можно сложить за $O(n)$ операций. Матрицу Тёплица можно умножить на вектор за $O(n\log n)$ операций, а умножение матриц Тёплица можно провести за $O(n^2)$ операций.

Тёплицева система линейных уравнений, то есть система вида $Ax=b$, где $A$ — тёплицева матрица, может быть решена методом Левинсона за время $O(n^2)$.

Матрицы Тёплица также связаны с рядами Фурье: оператор умножения на многочлен из синусов или косинусов, спроецированный на конечномерное пространство, можно представить такой матрицей.

См. также

• Циркулянт
• Ганкелева матрица

Ссылки

• Тыртышников Е. Е. Теплицевы матрицы, некоторые их аналоги и приложения / ответственный редактор чл.-корр. СССР В. В. Воеводин. — М.: ВИНИТИ, 1989. — 184 с. — 150 экз. Архивная копия от 26 августа 2017 на Wayback Machine

• Robert M. Gray. Toeplitz and Circulant Matrices: A Review. — California, USA: nowpublishers.com, 2000. — 98 с.

• Бабенко, К. И. О теплицевых и ганкелевых матрицах // Успехи математических наук. — 1986. — Т. 41, № 1(247). — С. 171—178.

• Иохвидов И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы : Алгебраич. теория. — М.: Наука, 1974. — 263 с.

• Пустыльников Л. Д. Тёплицевы и ганкелевы матрицы и их применения // Успехи математических наук. — 1984. — Т. 39, № 4(238). — С. 53—84.