Точка излома

Точка излома или угловая точка — особая точка кривой, обладающая тем свойством, что ветви кривой, на которые эта точка делит исходную кривую, имеют в этой точке различные (односторонние) касательные. Функция не является гладкой в данной точке.

Говорят, что функция имеет точку излома, если график функции имеет точку излома. Функция имеет точку излома, если она имеет правую и левую производные, которые различны между собой, то есть, выполняется неравенство$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }{f}^{\text{'}}(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }{f}^{\text{'}}(x)$ и хотя бы один из них конечен (правый или левый предел не стремится к $\pm \mathrm{\infty }$).

Точкой излома функции $y=f(x)$ является критическая точка первого рода в которой производная функции терпит разрыв (за исключением случая бесконечных односторонних производных одного знака), то есть правая и левая производные не совпадают. Точка излома нередко является точкой локального экстремума, в том случае если производные слева и справа имеют разный знак.

Пример: функции $y=|x|$

Функция $y=|x|$является непрерывной в точке (0,0). Производная равна $y^{\prime }=sgn(x)$, которая терпит разрыв в точке (0,0). $f{\text{'}}_{+}(0)=1;f{\text{'}}_{-}(0)=-1$ — правая и левая производные не совпадают. Таким образом точка (0,0) является точкой излома функции.

Функции $y=|x|$

См. также

• Касп
• Дифференцируемая функция