sgn

График функции y = sgn x

sgn (сигнум, от лат. signum — знак) — кусочно-постоянная функция действительного аргумента. Обозначается $\mathrm{sgn}x$. Определяется следующим образом:

$\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{ll}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array}$

Функция не является элементарной.

Часто используется представление

$\mathrm{sgn}x=\frac{d}{dx}|x|$

При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих производных слева и справа.

Функция применяется в теории обработки сигналов, в математической статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись для индикации знака числа.

История и обозначения

Функцию $\mathrm{sgn}x$ ввёл Леопольд Кронекер в 1878 году, сначала он обозначал её иначе: $[x]$. В 1884 году Кронекеру понадобилось в одной статье использовать, наряду с $\mathrm{sgn}$, функцию «целая часть», которая также обозначалась квадратными скобками. Во избежание путаницы Кронекер ввёл обозначение $sgn.x$, которое (за вычетом точки перед аргументом) и закрепилось в науке. Иногда функцию обозначают как $\mathrm{sign}x$.

Свойства функции

• Область определения: $\mathbb{ℝ}$.
• Область значений: $\{-1;0;+1\}$.
• Гладкая во всех точках, кроме нуля.
• Функция нечётна.
• Точка $x=0$ является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны $+1$ и $-1$ соответственно.
• $|x|=\mathrm{sgn}x\cdot x$ и $x=\mathrm{sgn}x\cdot |x|$ для $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{ℝ}$. Иначе говоря,

$\mathrm{sgn}x=\frac{x}{|x|}=\frac{|x|}{x}$ при $x\ne 0$.

• $\frac{d}{dx}\mathrm{sgn}x=2\cdot \delta (x)$, где $\delta (x)$ — дельта-функция Дирака.
• $\mathrm{sgn}x\cdot \mathrm{sgn}y=\mathrm{sgn}(x\cdot y)$.
• $\mathrm{sgn}x=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin tx}{t}dt$.

Обобщения функции для комплексного аргумента

• Представление

$\mathrm{sgn}z=\{\begin{array}{ll}\frac{z}{|z|},& z\ne 0\\ 0,& z=0\end{array}$

даёт одно из возможных обобщений функции сигнум на множество комплексных чисел. При этом $\frac{z}{|z|}=\cos \phi +i\sin \phi =e^{i\phi }$, где $\phi =\mathrm{Arg}z$ — аргумент комплексного числа $z$. При $z\ne 0$ результатом функции $\mathrm{sgn}z$ является точка единичной окружности, ближайшая к числу $z$. Смысл данного обобщения заключается в том, чтобы посредством радиус-вектора единичной длины показать направление на комплексной плоскости, отвечающее числу $z$. Это же направление в полярных координатах задаёт угол $\phi$. Неопределённое направление, отвечающее числу $z=0$, выражается нулевым значением функции. Например, таким образом функция signum определена в стандартной библиотеке комплексных чисел в языке Haskell.

• Другой вариант обобщения функции, обозначаемый как $\mathrm{csgn}$, определяется следующим образом:

$\mathrm{csgn}(z)=\{\begin{array}{ll}1,& \mathrm{Re}z>0\\ -1,& \mathrm{Re}z<0\\ \mathrm{sgn}\mathrm{Im}z& \mathrm{Re}z=0\end{array}$

Данное обобщение используется, например, в приложениях Mathcad и Maple.

См. также

• Функция Хевисайда

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964. — 608 с.
• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.