Теорема Монжа
Теорема Мо́нжа (другое название - теорема о трёх колпаках) — теорема о трёх окружностях, сформулированная Жаном Д’Аламбером[источник не указан 1774 дня] и доказанная Гаспаром Монжем[источник не указан 1774 дня]. Часто используется как пример теоремы в доказательстве которой полезно повысить размерность пространства.
Формулировка[править]
Для трёх произвольных окружностей, каждая из которых не лежит целиком внутри другой, точки пересечения общих внешних касательных к каждой паре окружностей лежат на одной прямой.
Доказательство[править]
В простейшем доказательстве используется трехмерная аналогия.[1] Пусть три круга соответствуют трем сферам разного радиуса; круги соответствуют экваторам, которые возникают из плоскости, проходящей через центры сфер. Три сферы можно однозначно зажать между двумя плоскостями. Каждая пара сфер определяет конус, который касается обеих сфер снаружи, а вершина этого конуса соответствует точке пересечения двух внешних касательных, то есть внешнему центру подобия. Поскольку одна линия конуса лежит в каждой плоскости, вершина каждого конуса должна лежать в обеих плоскостях и, следовательно, где-то на линии пересечения двух плоскостей. Следовательно, три внешних центра гомотетии коллинеарны.
Доказательство можно построить и без трёхмерной аналогии. В этом случае мы можем рассмотреть композицию трёх гомотетий с центрами в точках пересечения общих внешних касательных к каждой паре окружностей, при которой каждая из гомотетий будет переводить одну окружность в другую. При этом произведение коэффициентов этих трёх гомотетий будет равно 1 (так как коэффициент каждой из гомотетий будет равен отношению радиуса одной окружности к радиусу другой окружности), то есть композиция трёх таких гомотетий будет параллельным переносом. Но если рассмотреть один из центров этих трёх окружностей, то можно заметить что при композиции гомотетий он будет переходить сам в себя, то есть будет являться неподвижной точкой. В итоге композиция трёх гомотетий будет параллельным переносом с неподвижной точкой, поэтому эта композиция будет тождественным преобразованием. А по теореме о трёх центрах гомотетий если композиция трёх гомотетий является тождественным преобразованием, то их центры лежат на одной прямой. Поэтому точки пересечения общих внешних касательных к каждой паре окружностей лежат на одной прямой.
Вариации и обобщения[править]
- Если две поверхности второго порядка описаны или вписаны в третью поверхность второго порядка, то линия их пересечения распадается на две плоских кривые, плоскости которых проходят через прямую, проходящую через две точки пересечения линий касания.
- Теорема Монжа обобщается на произвольные три центра гомотетий, переводящих друг в друга три окружности — достаточно того, чтобы чётное число из этих гомотетий имели отрицательный коэффициент.
См. также[править]
- Задача о покрытии полосками — другой классический пример утверждения в доказательстве которого полезно повысить размерность пространства.
Примечания[править]
- ↑ Wells, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. — New York : Penguin Books, 1991. — P. 153–154. — ISBN 0-14-011813-6.
Ссылки[править]
- Weisstein, Eric W. Monge's Circle Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- «Выход в пространство» — ролик из серии «Математические этюды»