Радикал идеала

В коммутативной алгебре радикал идеала I — это идеал, образованный всеми элементами x такими, что некоторая степень x принадлежит I. Радикальный идеал — это идеал, совпадающий со своим собственным радикалом.

Определение

Радикал идеала I в коммутативном кольце R, обозначаемый $\sqrt{I}$, определяется как

$\sqrt{I}=\{r\in R\mid \mathrm{\exists }n\in \mathbb{\mathbb{N}}{r}^n\in I\}$

Интуитивно, для получения радикала идеала нужно взять корни всех возможных степеней из его элементов. Эквивалентное определение радикала идеала I — это прообраз нильрадикала $R/I$ при отображении факторизации. Это также доказывает, что $\sqrt{I}$ является идеалом.

Примеры

• В кольце целых чисел радикал главного идеала $(a)$ — это идеал, порождённый произведением всех простых делителей $a$.
• Радикал примарного идеала прост. Если радикал идеала максимален, то этот идеал примарен (если же радикал прост, то идеал не обязательно примарен).
• В любом коммутативном кольце $\sqrt{P^n}=P$ для простого идеала $P$. В частности, каждый простой идеал радикален.

Свойства

• $\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$. Более того, $\sqrt{I}$ — это наименьший радикальный идеал, содержащий I.
• $\sqrt{I}$ — это пересечение всех простых идеалов, содержащих I. В частности, нильрадикал — это пересечение всех простых идеалов.
• Идеал является радикальным тогда и только тогда, когда факторкольцо по нему не содержит нетривиальных нильпотентов.

Приложения

Основная мотивация для изучения радикалов — это их появление в знаменитой теореме Гильберта о нулях из коммутативной алгебры. Наиболее простая формулировка этой теоремы имеет следующий вид: для любого алгебраически замкнутого поля $k$ и любого конечнопорождённого идеала в кольце многочленов от $n$ переменных над полем $k$ верно следующее равенство:

$\mathrm{I}(\mathrm{V}(J))=\sqrt{J},$

где

$\mathrm{V}(J)=\{x\in k^n|f(x)=0\mathrm{\forall }f\in J\}$

и

$\mathrm{I}(S)=\{f\in k[x_1,x_2,\dots x_n]|f(x)=0\mathrm{\forall }x\in S\}.$

Литература

• Атья М., Макдональд И. . Введение в коммутативную алгебру. — М.: Факториал Пресс, 2003. — ISBN 5-88688-067-4.
• Eisenbud, David. . Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. — Springer-Verlag, 1995. — (Graduate Texts in Mathematics, vol. 150). — ISBN 0-387-94268-8.