Простой идеал

Простой идеал — естественное обобщение понятия простого числа в теории колец.

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала, — локализация кольца.

Определение

Идеал $I$ в кольце $A$ называется простым, если факторкольцо $A/I$ по нему является областью целостности.

Равносильная формулировка: если $I\ne A$ и из $ab\in I$ следует $a\in I$ или $b\in I$, то $I$ являет собой простой идеал.

Связанные понятия

Множество всех простых идеалов кольца $A$ образует спектр кольца $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$. В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.

Свойства

• Максимальный идеал $I$ кольца $A$ (то есть собственный идеал, не содержащийся ни в каком собственном идеале) является простым.

Доказательство

Действительно, пусть $ab\in I$, $a\notin I$. Рассмотрим идеал $J=I+aA$. Поскольку $I$ максимален, либо $J=I$ (что невозможно, поскольку $a\notin I$), либо $J=A$. Но тогда $1\in I+aA$, и, следовательно, $b\in bI+baA=I$.

• Идеал $I$ прост тогда и только тогда, когда элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему. Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.
• Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце $A$ с единицей задан идеал $I$, не пересекающийся с мультипликативной системой $S_0$. Тогда существует простой идеал $I_0$, содержащий $I$ и не пересекающийся с системой $S_0$.
• Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал $I$, совпадает с радикалом идеала $I$. Радикал идеала $I$ — это множество $\sqrt{I}=\{f\in A:\mathrm{\exists }n\in \mathbb{\mathbb{N}}{f}^n\in I\}$. Оно также является идеалом кольца $A$.

Доказательство

Пусть $J$ — простой идеал, содержащий $I$. Если элемент $f$ принадлежит радикалу $\sqrt{I}$, то некоторая его степень принадлежит идеалу $I\subset J$, поэтому $f$ не может принадлежать дополнению к $J$, так как это дополнение — мультипликативная система (если оно содержит $f$, то содержит и все его степени). Значит, $f$ принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал $I$.
Обратно: пусть $f$ не принадлежит радикалу $\sqrt{I}$. Тогда множество всех его степеней — мультипликативная система, не пересекающаяся с $I$. Согласно предыдущей теореме, существует простой идеал, содержащий $I$ и не содержащий ни одну из степеней элемента $f$. Следовательно, $f$ не принадлежит всем простым идеалам, содержащим идеал $I$.

Примеры

• В кольце целых чисел $A=\mathbb{\mathbb{Z}}$ каждый простой идеал имеет вид $pA$, где $p$ — простое число.

Доказательство

Пусть $a\in I$ — наименьшее положительное число в $I$. Возьмем произвольное $b\in I$ и поделим с остатком на $a$ : $b=a*g+r$, где $0\le r<a$. В силу выбора $a$, имеем $r=0$, т.е. все элементы $I$ делятся на $a$. Таким образом, $I=a\mathbb{\mathbb{Z}}$.

Положим, теперь $I=pA$. Поскольку из $ab\in pA$ следует $a\in pA$ или $b\in pA$, $p$ — простое число.

• В кольце многочленов от одной переменной $A=\mathbb{ℝ}[x]$ каждый простой идеал имеет вид $pA$, где $p$ — неприводимый над $\mathbb{ℝ}$ многочлен.
• В кольце многочленов $A=\mathbb{\mathbb{Q}}[x,y]$ множество $I=xA+yA$ является простым идеалом.

Доказательство

Любой элемент $a\in \mathbb{\mathbb{Q}}[x,y]$ можно представить в виде $a=a_0+a_{1}x+a_{2}y$, где $a_1,a_2\in \mathbb{\mathbb{Q}}[x,y]$ — некоторые многочлены, а $a_0\in \mathbb{\mathbb{Q}}$ определено однозначно элементом $a$. Условие $ab\in I$ равносильно тогда условию $a_0{b}_0=0$, откуда следует либо $a_0=0$, либо $b_0=0$.

Некоммутативный случай

Понятие простого идеала коммутативного кольца является частным случаем понятия первичного идеала: первичным идеалом $I$ (не обязательно коммутативного) кольца $A$ называется всякий идеал (не совпадающий со всем кольцом) такой, что если два элемента $a,b\in A$ таковы, что $\mathrm{\forall }r\in Aarb\in I$, то или $a\in I$, или $b\in I$.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.