Сферический сегмент

Файл:Spherical cap diagram.tiff

Сфери́ческий сегме́нт — поверхность, часть сферы, отсекаемая от неё некоторой плоскостью. Плоскость отсекает два сегмента: меньший сегмент называется также сферическим кругом. Если секущая плоскость проходит через центр сферы, то высота обоих сегментов равна радиусу сферы, и каждый из таких сферических сегментов называют полусферой.

Шарово́й сегме́нт — геометрическое тело, часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью. Поверхностью шарового сегмента является объединение сферического сегмента и круга (основания шарового сегмента), границы которых совпадают.

Объём и площадь поверхности

Если радиус основания сегмента равен $a$, высота сегмента равна $h$, тогда объём шарового сегмента равен

$V=\frac{\pi h}{6}(3a^2+h^2),$

площадь поверхности сегмента равна

$A=2\pi rh$

или

$A=2\pi r^2(1-\cos \theta ).$

Параметры $a$, $h$ и $r$ связаны соотношениями

$r^2=(r-h{)}^2+a^2=r^2+h^2-2rh+a^2,$

$r=\frac{a^2+h^2}{2h}.$

Подстановка последнего выражения в первую формулу для вычисления площади приводит к равенству

$A=2\pi \frac{(a^2+h^2)}{2h}h=\pi (a^2+h^2).$

Заметим, что в верхней части сферы (синий сегмент на рисунке) $h=r-\sqrt{r^2-a^2},$ в нижней части сферы $h=r+\sqrt{r^2-a^2},$ следовательно, для обоих сегментов справедливо выражение $a=\sqrt{h(2r-h)}$ и можно привести другое выражение для объёма:

$V=\frac{\pi h^2}{3}(3r-h).$

Формула для определения объёма также может быть получена при интегрировании поверхности вращения:

$V=\underset{x}{\overset{r}{\int }}\pi (r^2-x^2)dx=\pi (\frac{2}{3}{r}^3-r^{2}x+\frac{1}{3}{x}^3)=\frac{\pi }{3}{r}^3(\cos \theta +2)(\cos \theta -1{)}^2.$

Применение

Объём объединения и пересечения двух пересекающихся сфер

Объём объединения двух сфер радиусов r₁ и r₂ равен

$V=V^{(1)}-V^{(2)}$,

где

$V^{(1)}=\frac{4\pi }{3}{r}_1^3+\frac{4\pi }{3}{r}_2^3$

является суммой объёмов двух сфер по отдельности, а

$V^{(2)}=\frac{\pi h_1^2}{3}(3r_1-h_1)+\frac{\pi h_2^2}{3}(3r_2-h_2)$

является суммой объёмов двух сферических сегментов, образующих пересечение данных сфер. Пусть d < r₁ + r₂ — расстояние между центрами сфер, тогда исключение величин h₁ и h₂ приводит к выражению

$V^{(2)}=\frac{\pi }{12d}(r_1+r_2-d{)}^2(d^2+2d(r_1+r_2)-3(r_1-r_2{)}^2).$

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт, является разностью площадей поверхности двух соответствующих сферических сегментов. Для сферы радиуса r и широт φ₁ и φ₂ данная площадь равна

$A=2\pi r^2|\sin {\phi }_1-\sin {\phi }_2|.$

Площадь квадратного участка поверхности шара

Участок, вырезанный на сфере радиуса r четырьмя дугами больших кругов, имеющими одинаковую угловую длину θ и попарно перпендикулярными (сферический квадрат, аналог квадрата на плоскости), имеет площадь

$A=8r^2(1-\cos \theta /2).$

Если угол θ мал (по сравнению с 1 радианом), то справедливо приближённое равенство, основывающееся на приближении $\cos x\to 1-x^2/2$ при $x\to 0:$

$A\approx 8r^2\frac{{\theta }^2}{8}=r^2{\theta }^2.$

Например, площадь квадратного участка поверхности Земли (R_⊕ = 6378 км) со сторонами, равными 1 градусу, составляет

$A(1^{\circ })=8\cdot R_{\oplus }^2(1-\cos 0,5^{\circ })\approx R_{\oplus }^2\cdot {\left(\frac{\pi }{180}\right)}^2\approx 12391{\text{км}}^2.$

1 квадратная секунда поверхности Земли имеет площадь в 3600² раз меньше: A(1′′) ≈ 12 391 км² / (60 · 60)² ≈ 956 м².

Обобщения

Сечения других тел

Сфероидальный сегмент получается при отсечении части сфероида таким образом, что она обладает круговой симметрией (обладает осью вращения). Аналогичным образом определяют эллипсоидальный сегмент.

Сегмент гиперсферы

Объём $n$-мерного сегмента гиперсферы высотой $h$ и радиуса $r$ в $n$-мерном евклидовом пространстве определяется по формуле

$V=\frac{{\pi }^{\frac{n-1}{2}}{r}^n}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}\underset{0}{\overset{\arccos \left(\frac{r-h}{r}\right)}{\int }}{\sin }^{n}t\mathrm{d}t,$

где $\mathrm{\Gamma }$ (гамма-функция) задаётся выражением $\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t.$

Выражение для объёма $V$ можно переписать в терминах объёма единичного $n$-мерного шара $C_n={\pi }^{n/2}/\mathrm{\Gamma }[1+\frac{n}{2}]$ и гипергеометрической функции ${}_2{F}_1$ или регуляризованной неполной бета-функции $I_x(a,b)$ как

$V=C_n{r}^n(\frac{1}{2}-\frac{r-h}{r}\frac{\mathrm{\Gamma }[1+\frac{n}{2}]}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }[\frac{n+1}{2}]}{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1-n}{2};\frac{3}{2};{\left(\frac{r-h}{r}\right)}^2))=\frac{1}{2}{C}_n{r}^n{I}_{(2rh-h^2)/r^2}(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}).$

Формула для площади поверхности $A$ может быть записана в терминах площади поверхности единичного $n$-мерного шара $A_n=2{\pi }^{n/2}/\mathrm{\Gamma }\left[\frac{n}{2}\right]$ как

$A=\frac{1}{2}{A}_n{r}^{n-1}{I}_{(2rh-h^2)/r^2}(\frac{n-1}{2},\frac{1}{2}),$

где $0\le h\le r.$

Также справедливы следующие формулы: $A=A_n{p}_{n-2}(q),V=V_n{p}_n(q),$ где $q=1-h/r(0\le q\le 1),p_n(q)=\frac{1-G_n(q)/G_n(1)}{2},$

$G_n(q)=\underset{0}{\overset{q}{\int }}(1-t^2{)}^{(n-1)/2}dt.$

При $n=2k+1:$

$G_n(q)=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})\frac{q^{2i+1}}{2i+1}.$

Было показано, что при $n\to \mathrm{\infty }$ и $q\sqrt{n}=\text{const }$ $p_n(q)\to 1-F(q\sqrt{n}),$ где $F()$ — стандартное нормальное распределение.

Литература

• А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин, П. С. Александров. Основные понятия сферической геометрии // Энциклопедия элементарной математики. Книга 4 - Геометрия. — Москва: ГИФМЛ, 1963.