Поле частных

Поле частных (называемое также полем отношений) в общей алгебре определяется для области целостности $R$ как наименьшее поле, содержащее $R.$ Поле частных для $R$ может обозначаться $\mathrm{Frac}(R)$ или $\mathrm{Quot}(R).$

Элементы поля частных могут быть (однозначно) конструктивно построены из элементов $R$ как классы эквивалентности некоторого бинарного отношения (см. ниже).

Примеры

• Классическим примером области целостности является кольцо целых чисел; наименьшее расширение его до поля даёт поле рациональных чисел $\mathbb{\mathbb{Q}}.$
• Возьмём в качестве $R$ кольцо гауссовых целых чисел вида $a+bi,$ где $a,b$ — обычные целые числа. Тогда $\mathrm{Frac}(R)=\{c+d\mathrm{i}\mid c,d\in \mathbb{\mathbb{Q}}\}$ — поле рациональных гауссовых чисел.
• Поле частных для любого поля изоморфно исходному полю.
• Пусть $K$ — поле. Тогда кольцо многочленов $K[X]$ с коэффициентами из этого поля всегда является областью целостности. Поле частных для $K[X]$ обозначается $K(X)$ и называется полем рациональных функций.

Построение

Поле частных для области целостности $R$ строится так же, как поле рациональных чисел на основе кольца целых чисел (см. Рациональное число#Формальное определение). Рассмотрим множество упорядоченных пар элементов $a,b\in R(b\ne 0)$ и определим на нём отношение эквивалентности, как для дробей: пары $(a,b)$ и $(c,d)$ эквивалентны, если $ad=bc.$ Поле частных $\mathrm{Frac}(R)$ определяется как совокупность классов эквивалентности (факторкольцо). Класс, содержащий пару $(a,b),$ по аналогии с обычными дробями будем обозначать $a/b$ или $\frac{a}{b}.$

Сумма $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ определяется, как для дробей: $\frac{ad+bc}{bd}.$ Аналогично определяется умножение: $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.$ Несложно проверить:

• результаты этих операций не зависят от выбора представителей в их классе эквивалентности;
• сложение обратимо, то есть всегда возможно вычитание;
• классы $0/b$ и $a/a$ играют роль нуля и единицы соответственно;
• все аксиомы кольца выполнены.

Поэтому $\mathrm{Frac}(R)$ — коммутативное кольцо. Оно содержит кольцо, изоморфное исходному кольцу $R$ — для доказательства сопоставим $a\in R$ класс, содержащий пару $a/1.$

Далее установим, что у каждого ненулевого класса $\frac{a}{b}$ имеется обратный элемент $\frac{b}{a},$ определённый однозначно (в этом месте доказательства используется отсутствие делителей нуля), и этот факт означает выполнимость деления. Таким образом, построенная структура $\mathrm{Frac}(R)$ является полем.

Поле частных для заданной области целостности единственно с точностью до изоморфизма.

Аналогичное построение может быть произведено для любого коммутативного кольца, результатом будет кольцо частных, которое, вообще говоря, не является полем — среди его элементов могут быть необратимые.

Свойства

Поле частных кольца $R$ удовлетворяет следующему универсальному свойству: если h : $R$ → $F$ — инъективный гомоморфизм колец из $R$' в поле $F$, то существует единственный гомоморфизм колец g: $\mathrm{Quot}(R)$ → $F$, который совпадает с h на элементах $R$. Это универсальное свойство можно выразить такими словами: поле частных — это стандартный способ сделать элементы кольца обратимыми, соответственно, кольцо частных — это стандартный способ сделать некоторое подмножество элементов кольца обратимыми.

В терминах теории категорий конструкцию поля частных можно описать следующим образом. Рассмотрим категорию, объекты которой — области целостности, а морфизмы — инъективные гомоморфизмы колец. Существует забывающий функтор из категории полей в эту категорию (так как все гомоморфизмы полей инъективны). Оказывается, что у этого функтора существует левый сопряжённый, он и сопоставляет целостному кольцу его поле частных.

Литература

• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1. — 374 с.
• Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высшая школа, 1979. — 559 с.

Ссылки

• Кострикин А. И. Поле отношений целостного кольца. Архивная копия от 7 декабря 2018 на Wayback Machine // Введение в алгебру, § 9.5.4.3.1. М.: Наука, 1977, стр. 233—236.