Пара (математика)

Пара в математике может быть определена с различных точек зрения.

Определение пары в формальной математике

Пусть $\mathbf{𝐓}$ и $\mathbf{𝐔}$ — термы и $\complement$ — субстантивный знак веса 2, тогда знакосочетание $\complement TU$ также является термом и обозначается $(\mathbf{𝐓}\mathbf{𝐔})$. Подробнее: соотношение $(\mathrm{\exists }x)(\mathrm{\exists }y)(z=(x,y))$ обозначают словами «$z$ есть пара».

Имеет место так называемая аксиома пары.

Аксиома пары

$\mathrm{\forall }x\mathrm{\forall }y\mathrm{\forall }{x}^{\prime }\mathrm{\forall }{y}^{\prime }((x,y)=(x^{\prime },y^{\prime })\to x=x^{\prime }\wedge y=y^{\prime }).$

Определение пары в теории множеств

Встречается также вариант написания: Теория множеств. Число элементов множества $A$ равно 1, или $A$ состоит из одного элемента $a$, тогда и только тогда, когда при вычитании из него множества $\{a\}$ получается пустое множество: $A\setminus \{a\}=\varnothing$.

Непустое множество $A$ называется множеством из двух элементов, или парой: $A=\{a,b\}$, если после вычитания из него множества, состоящего только из одного элемента $a\in A$, останется множество, которое состоит также из одного элемента $b\in A$. При таком определении пары (как и вообще множества, состоящего из любого числа элементов) не зависит от выбора и порядка следования указанного элемента $a\in A$.

Упорядоченная пара

Основная статья: Кортеж (математика)

Если задана пара $\{a,b\}$, то множество $\{\{a\},\{a,b\}\}$ называется упорядоченной парой и обозначается $(a,b)$. При этом элемент $a$ называется первым элементом, а элемент $b$ — вторым элементом пары.

В формальной математике первый элемент упорядоченной пары $A=(a,b)$ называется также первой координатой или первой проекцией и обозначается ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_{1}A$. Аналогично второй элемент пары $A$ называется второй координатой или второй проекцией и обозначается ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_{2}A$.