Терм (логика)

Терм — выражение формального языка (системы) специального вида. По аналогии с естественным языком, где именная группа ссылается на объект, а целое предложение ссылается на факт, в математической логике терм обозначает математический объект, а формула обозначает математический факт. В частности, термы появляются как компоненты формулы.

Терм первого порядка рекурсивно определяется из символов постоянных, переменных и функций. Выражение, полученное путём применения предикатного символа к соответствующему количеству термов, называется логическим атомом, значение которого в двузначной логике на основе логической интерпретации оценивается как «истина» или «ложь». Например, $(x+1)*(x+1)$ — это терм, построенный из константы 1, переменной x и символов двоичной функции $+$ и $*$; это часть атомарной формулы $(x+1)*(x+1)\ge 0$, которая принимает значение «истина» для любого вещественного x.

Помимо логики, термы играют важную роль в универсальной алгебре и системах переписывания.

Множество $T(\mathrm{\Sigma })$ термов сигнатуры $\mathrm{\Sigma }=<R,F,\mu >$, где $R$ — множество предикатов, $F$ — множество функций, а $\mu$ — отображение арности для $\mathrm{\Sigma }$, определяется индуктивно:

1. переменные $x\in V$ являются термами сигнатуры $\mathrm{\Sigma }$
2. если $t_1,...,t_n$ терм сигнатуры $\mathrm{\Sigma }$, $f\in F$ и $\mu (f)=n$, то $f(t_1,...,t_n)$ — терм сигнатуры $\mathrm{\Sigma }$.

Запись $\mathrm{\Theta }({\tau }_1,...,{\tau }_n)$ при $n=0$ обозначает $\mathrm{\Theta }$. В частности, из пункта 2 получаем, что символ $c\in F$ константы сигнатуры $\mathrm{\Sigma }$ является термом сигнатуры $\mathrm{\Sigma }$.

Литература

• Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. — М.: Наука, 1987. — 336 с.