Конструкция Proj

Proj — конструкция, аналогичная конструкции аффинных схем как спектров колец, с помощью которой строятся схемы, обладающие свойствами проективных пространств и проективных многообразий.

В этой статье все кольца считаются коммутативными кольцами с единицей.

Proj градуированного кольца

Proj как множество

Пусть $S$ — градуированное кольцо, где

$S=\underset{i\ge 0}{⨁}{S}_i$

есть разложение в прямую сумму, ассоциированное с градуировкой.

Обозначим через $S_{+}$ идеал $\underset{i>0}{⨁}{S}_i.$ Определим множество Proj S как множество всех однородных простых идеалов, не содержащих $S_{+}.$

В дальнейшем мы иногда для краткости будем обозначать Proj S как X.

Proj как топологическое пространство

Мы можем определить топологию, называемую топологией Зарисского, на Proj S, определяя замкнутые множества как множества вида

$V(a)=\{p\in \mathrm{Proj}S\mid a\subseteq p\},$

где a — однородный идеал S. Как и в случае аффинных схем, легко проверяется, что V(a) — это замкнутые множества некоторой топологии на X.

Действительно, если $(a_i{)}_{i\in I}$ — семейство идеалов, то $\bigcap V(a_i)=V(\mathrm{\Sigma }{a}_i)$ и если множество I конечно, то $\bigcup V(a_i)=V(\mathrm{\Pi }{a}_i)$.

Эквивалентно, можно начать с открытых множеств и определить

$D(a)=\{p\in \mathrm{Proj}S\mid a\subseteq ̸p\}.$

Стандартное сокращение состоит в том, чтобы обозначать D(Sf) как D(f), где Sf — это идеал, порождённый f. Для любого a, D(a) и V(a) очевидным образом дополнительны и приведённое выше доказательство показывает, что D(a) образуют топологию на Proj S. Преимущество этого подхода в том, что D(f), где f пробегает все однородные элементы S, образуют базис этой топологии, что является необходимым инструментом для изучения Proj S, аналогично случаю спектров колец.

Proj как схема

Мы также строим пучок на Proj S, называемый структурным пучком, который превращает его в схему. Как и в случае конструкции Spec существует несколько способов это сделать: наиболее прямой из них, который также напоминает конструкцию регулярных функций на проективном многообразии в классической алгебраической геометрии, состоит в следующем. Для любого открытого множества U в Proj S мы определяем кольцо $O_X(U)$ как множество всех функций

$f:U\to \bigcup _{p\in U}{S}_{(p)}$

(где $S_{(p)}$ обозначает подкольцо локального кольца $S_p$ точки $p$, состоящее из частных однородных элементов одинаковой степени) таких, что для каждого простого идеала p в U:

1. f(p) является элементом $S_{(p)}$;
2. существует открытое подмножество V множества U, содержащее p, и однородные элементы s, t кольца S одинаковой степени, такие, что для каждого простого идеала q в V:
   • t не лежит в q;
   • f(q) = s/t.

Из определения немедленно следует, что $O_X(U)$ образуют пучок колец $O_X$ на Proj S, и можно показать, что пара (Proj S, $O_X$) является схемой (при этом каждое подмножество D(f) является аффинной схемой).

Пучок, ассоциированный с градуированным модулем

Существенным свойством S в конструкции выше была возможность построения локализаций $S_{(p)}$ для каждого простого идеала p в S. Этим свойством также обладает любой градуированный модуль M над S, и, следовательно, конструкция из раздела выше с небольшими изменениями позволяет построить для такого M пучок $O_X$-модулей на Proj S, обозначаемый $\tilde{M}$. По построению этот пучок является квазикогерентным. Если S порождается конечным числом элементов степени 1 (то есть является кольцом многочленов или его фактором), все квазикогерентные пучки на Proj S получаются из градуированных модулей с помощью этой конструкции. Соответствующий градуированный модуль не является единственным.

Скручивающий пучок Серра

Частный случай пучка, ассоциированного с градуированным модулем — это когда в качестве M мы берём само S с другой градуировкой: а именно, мы считаем элементами степени d модуля M элементы степени (d + 1) кольца S и обозначаем M = S(1). Мы получаем квазикогерентный пучок $\tilde{M}$ на Proj S, обозначаемый $O_X(1)$ или просто O(1) и называемый скручивающим пучком Серра. Можно проверить, что O(1) является обратимым пучком.

Одна из причин полезности O(1) состоит в том, что он позволяет восстановить алгебраическую информацию об S, которая была потеряна в конструкции $O_X$ при переходе к частным степени 0. В случае Spec A для кольца A, глобальные сечения структурного пучка являются самим A, тогда как в нашем случае глобальные сечения пучка $O_X$ состоят из элементов S степени 0. Если мы определим

$O(n)=\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}O(1)$

то каждое O(n) содержит информацию степени n об S. Аналогично, для пучка $O_X$-модулей N, ассоциированного с S-модулем M мы можем определить

$N(n)=N\otimes O(n)$

и ожидать, что этот подкрученный пучок содержит потерянную информацию об M. Это позволяет предположить, хотя и неправильно, что S можно восстановить из этих пучков; это на самом деле верно, если S является кольцом многочленов, см. ниже.

n-мерное проективное пространство

Если A — кольцо, мы определяем n-мерное проективное пространство над A как схему

${\mathbb{\mathbb{P}}}_A^n=\mathrm{Proj}A[x_0,\dots ,x_n].$

Мы определяем градуировку на кольце $S=A[x_0,\dots ,x_n]$, полагая, что каждое $x_i$ имеет степень 1 и каждый элемент A имеет степень 0. Сопоставляя это с определением O(1), данным выше, мы видим, что сечения O(1) — это линейные однородные многочлены, порождаемые элементами $x_i$.

Примеры

• Если мы возьмём как базовое кольцо $A=\mathbb{ℂ}[\lambda ]$, то $\text{Proj}(A[X,Y,Z]/(Z{Y}^2-X(X-Z)(X-\lambda Z)))$ имеет канонический проективный морфизм на аффинную прямую ${\mathbb{𝔸}}_{\lambda }^1$, слои которого являются эллиптическими кривыми, кроме слоёв над точками $\lambda =0,1$, над которыми слои вырождаются в нодальные кривые.
• Проективная гиперповерхность $\text{Proj}(\mathbb{ℂ}[X_0,\dots ,X_4]/(X_0^5+\cdots X_4^5))$ является примером трёхмерной квинтики Ферма, которая также является многообразием Калаби — Яу.
• Если мы рассмотрим тривиальную градуировку на $A$, то есть $A_0=A$ и $A_i=0$ для $i\ne 0$, то $\text{Proj}(A)=\text{Spec}(A)$.
• Взвешенные проективные пространства можно построить, используя кольца многочленов с нестандартными степенями переменных. Например, the взвешенное проективное пространство $\mathbb{\mathbb{P}}(1,1,2)$ соответствует взятию $\text{Proj}$ кольца $A[X_0,X_1,X_2]$ где $X_0,X_1$ имеют степень $1$, тогда как $X_2$ имеет степень 2.
• Биградуированное кольцо соответствует подсхеме произведения проективных пространств. Например, биградуированная алгебра $\mathbb{ℂ}[X_0,X_1,Y_0,Y_1]$, где $X_i$ имеют степень $(1,0)$ и $Y_i$ имеют степень $(0,1)$, соответствует ${\mathbb{\mathbb{P}}}_X^1\times {\mathbb{\mathbb{P}}}_Y^1$.

Литература

• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М.: Мир, 1981.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. «Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes». Publications Mathématiques de l’IHÉS. 8, 1961.