Изофота

Изофота (англ. Isophote) — кривая на освещённой поверхности, соединяющая точки с одинаковой яркостью. Предположим, что освещённость создаётся пучком параллельных лучей света, а яркость $b$ выражается скалярным произведением

b (P) = \vec{n} (P) \cdot \vec{v} = \cos φ .

$\vec{n} (P)$ представляет собой единичный вектор, нормальный к поверхности в точке $P$ , а вектор $\vec{v}$ является единичным вектором в направлении распространения света. В случае $b (P) = 0$ , когда свет перпендикулярен к нормали к поверхности, точка $P$ является точкой на силуэте поверхности в направлении $\vec{v}$ . Яркость 1 означает, что луч света перпендикулярен поверхности. На плоскости в рамках предположения о параллельности пучка лучей изофоты будут отсутствовать.

В астрономии изофотой называют кривую на изображении объекта, соединяющую точки с одинаковой яркостью. ^[1]

Применение и пример[править]

В системах автоматизированного проектирования изофоты используются для оптического контроля гладкости стыковки поверхностей. Для поверхности (заданной неявно или параметрически), дифференцируемой достаточное количество раз, вектор нормали зависит от первых производных. Следовательно, дифференцируемость изофот и их геометрическая непрерывность имеют на 1 меньший порядок, чем сама поверхность. Если в точке поверхности непрерывными являются только касательные плоскости (гладкость порядка 1), то изофоты обладают изломами (гладкость только нулевого порядка).

В следующем примере две пересекающиеся поверхности Безье закрыты участком третьей поверхности. На рисунке слева закрывающая поверхность касается поверхностей Безье с порядком гладкости 1, на рисунке справа — с порядком гладкости 2. Из самих рисунков разница ситуаций видна плохо, но исследование геометрической непрерывности изофот показывает: на рисунке слева изофоты имеют изломы (гладкость порядка 0), а на рисунке справа изофоты выглядят гладкими (гладкость порядка 1).

Изофоты на двух поверхностях Безье: слева видны изломы, справа изофоты гладкие.

Определение точек изофоты[править]

на неявно заданной поверхности[править]

Для неявно заданной поверхности с уравнением $f (x, y, z) = 0$ изофоты удовлетворяют равенству

\frac{\nabla f \cdot \vec{v}}{| \nabla f |} = c .

Это означает: точки на изофоте с заданным параметром $c$ представляют собой решение нелинейной системы

$f (x, y, z) = 0, \nabla f (x, y, z) \cdot \vec{v} - c | \nabla f (x, y, z) | = 0,$

которую можно рассматривать как линию пересечения двух неявно заданных поверхностей. Используя алгоритм, представленный Bajaj и др. (см. ссылки), можно вычислить многоугольник из точек изофот.

на параметрически заданной поверхности[править]

В случае параметрически заданной поверхности $\vec{x} = \vec{S} (s, t)$ уравнение для изофот имеет вид

\frac{({\vec{S}}_{s} \times {\vec{S}}_{t}) \cdot \vec{v}}{| {\vec{S}}_{s} \times {\vec{S}}_{t} |} = c,

что эквивалентно выражению

$({\vec{S}}_{s} \times {\vec{S}}_{t}) \cdot \vec{v} - c | {\vec{S}}_{s} \times {\vec{S}}_{t} | = 0 .$

Данное уравнение описывает неявно заданную кривую в плоскости s-t, которую можно представить с помощью подходящего алгоритма и преобразовать с помощью $\vec{S} (s, t)$ в точки на поверхности.

Литература[править]

J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung, Teubner-Verlag, Stuttgart, 1989, ISBN 3-519-02962-6, p. 31.
Z. Sun, S. Shan, H. Sang et. al.: Biometric Recognition, Springer, 2014, ISBN 978-3-319-12483-4, p. 158.
C.L. Bajaj, C.M. Hoffmann, R.E. Lynch, J.E.H. Hopcroft: Tracing Surface Intersections, (1988) Comp. Aided Geom. Design 5, pp. 285–307.
C. T. Leondes: Computer Aided and Integrated Manufacturing Systems: Optimization methods, Vol. 3, World Scientific, 2003, ISBN 981-238-981-4, p. 209.

Примечания[править]

↑ J. Binney, M. Merrifield: Galactic Astronomy, Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1, p. 178.

Ссылки[править]

[1] J. Binney, M. Merrifield: Galactic Astronomy, Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1, p. 178.

[1]