Ядро (статистика)

Ядром (англ. kernel) в статистике и эконометрике называют окно (весовую функцию). Байесовская, непараметрическая статистика и теория распознавания образов трактуют термин по-разному.

Непараметрическая статистика

В непараметрической статистике под ядром понимается весовая функция, используемая при оценке распределений и параметров (ядерная оценка плотности, ядерная регрессия). Ядра также применяются при анализе временных рядов. Ядерная оценка требует специфицировать ширину окна.

Определение

Основная статья: Интегральные преобразования

Неотрицательная вещественнозначная интегрируемая функция K называется ядром. В большинстве случаев желательно, чтобы функция удовлетворяла ещё двум требованиям:

• Нормирование:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}K(u)du=1;$

• Симметрия:

$K(-u)=K(u)\mathrm{\forall }u.$

Если функция обладает первым свойством, то результатом ядерной оценки плотности действительно будет плотность вероятности. Второе свойство гарантирует, что среднее значение распределения равно среднему использованной выборки.

Если функция K является ядром, то ядром будет и функция K*(u) = λK(λu) при λ > 0. Данный результат позволяет выбрать масштаб, подходящий для имеющихся данных.

Часто используемые ядерные функции

В практике распространены несколько типов ядер: равномерное, треугольное, Епанечниково, гауссово и проч.

Ниже дана таблица с перечнем часто используемых ядер. Если носитель ядра K ограничен, то для всех значений u вне носителя $K(u)=0$.

Ядерные функции, K(u)			$\int u^{2}K(u)du$	$\int K(u{)}^{2}du$	Эффективность относительно Епанечникова ядра
Равномерное	$K(u)=\frac{1}{2}$ Носитель: $|u|\le 1$		$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	92.9%
Треугольное	$K(u)=(1-|u|)$ Носитель: $|u|\le 1$		$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$	98.6%
Епанечниково (параболическое)	$K(u)=\frac{3}{4}(1-u^2)$ Носитель: $|u|\le 1$		$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	100%
Биквадратное	$K(u)=\frac{15}{16}(1-u^2{)}^2$ Носитель: $|u|\le 1$		$\frac{1}{7}$	$\frac{5}{7}$	99.4%
Триквадратное	$K(u)=\frac{35}{32}(1-u^2{)}^3$ Носитель: $|u|\le 1$		$\frac{1}{9}$	$\frac{350}{429}$	98.7%
Трикубическое	$K(u)=\frac{70}{81}(1-{\left|u\right|}^3{)}^3$ Носитель: $|u|\le 1$		$\frac{35}{243}$	$\frac{175}{247}$	99.8%
Гауссово	$K(u)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{u}^2}$		$1$	$\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$	95.1%
Косинусоидальное	$K(u)=\frac{\pi }{4}\cos \left(\frac{\pi }{2}u\right)$ Носитель: $|u|\le 1$		$1-\frac{8}{{\pi }^2}$	$\frac{{\pi }^2}{16}$	99.9%
Логистическое	$K(u)=\frac{1}{e^u+2+e^{-u}}$		$\frac{{\pi }^2}{3}$	$\frac{1}{6}$	88.7%
Сигмоидальное	$K(u)=\frac{2}{\pi }\frac{1}{e^u+e^{-u}}$		$\frac{{\pi }^2}{4}$	$\frac{2}{{\pi }^2}$	84.3%
Сильвермана	$K(u)=\frac{1}{2}{e}^{-\frac{|u|}{\sqrt{2}}}\cdot \sin (\frac{|u|}{\sqrt{2}}+\frac{\pi }{4})$		$0$	$\frac{3\sqrt{2}}{16}$	не определена

Графики некоторых ядер

См. также

• Ядерная оценка плотности (оценка плотности)
• Ядерное сглаживание
• Стохастическое ядро

Литература

• Li, Qi; Racine, Jeffrey S. Nonparametric Econometrics: Theory and Practice (англ.). — Princeton University Press, 2007. — ISBN 0-691-12161-3.

• Zucchini, Walter. APPLIED SMOOTHING TECHNIQUES Part 1: Kernel Density Estimation  (неопр.). Дата обращения: 12 августа 2015. Архивировано из оригинала 5 марта 2016 года.

• Comaniciu, D; Meer, P. Mean shift: A robust approach toward feature space analysis (англ.) // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence : journal. — 2002. — Vol. 24, no. 5. — P. 603—619. — doi:10.1109/34.1000236.