Числа Пизо

Число Пизо (или число Пизо—Виджаярагхавана, или PV-число) — любое алгебраическое целое число, большее единицы, модули всех сопряжённых которого строго меньше единицы. Эти числа открыты Акселем Туэ в 1912 году, изучались Годфри Харди с 1919 в связи с диофантовыми приближениями, но получили известность после публикации диссертации Шарля Пизо в 1938. Исследования продолжили Тирукканнапурам Виджаярагхаван и Рафаэль Салем в 1940-х годах.

С числами Пизо тесно связаны числа Салема: это такое число, что модули всех его сопряжённых не больше 1 и среди них присутствует единичный.

Свойства

Чем больше натуральный показатель степени PV-числа, тем больше эта степень приближается к целому числу. Пизо доказал, что среди нецелых положительных алгебраических чисел, модули которых больше 1, это свойство является исключительным для PV-чисел: если вещественное число $\alpha >1$ таково, что последовательность расстояний $\Vert {\alpha }^n\Vert$ от его степеней до множества целых чисел принадлежит $l_2$^{[прояснить]}, то $\alpha$ — число Пизо (и, в частности, $\alpha$ — алгебраическое).

Наименьшим числом Пизо является единственный вещественный корень кубического уравнения $x^3-x-1=0$, известный как пластическое число.

Квадратичные иррациональности, являющиеся числами Пизо:

Значение	многочлен	Числовое значение
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$	$x^2-x-1$	1,618034… (золотое сечение)
$1+\sqrt{2}$	$x^2-2x-1$	2,414214… (серебряное сечение)
$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$	$x^2-3x+1$	2,618034… A104457
$1+\sqrt{3}$	$x^2-2x-2$	2,732051… A090388
$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$	$x^2-3x-1$	3,302776… A098316 (бронзовое сечение)
$2+\sqrt{2}$	$x^2-4x+2$	3,414214…
$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$	$x^2-3x-2$	3,561553.. A178255.
$2+\sqrt{3}$	$x^2-4x+1$	3,732051… A019973
$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$	$x^2-3x-3$	3,791288…A090458
$2+\sqrt{5}$	$x^2-4x-1$	4,236068… A098317