Тензор Коттона

В дифференциальной геометрии тензор Коттона на (псевдо)-римановом многообразии размерности n задаётся как тензор 3-го ранга, определяемый с помощью метрики.

Назван в честь Эмиля Коттона.

Определение

Тензор Коттона можно записать в координатах следующим образом

$C_{ijk}={\mathrm{\nabla }}_k{R}_{ij}-{\mathrm{\nabla }}_j{R}_{ik}+\frac{1}{2(n-1)}\cdot ({\mathrm{\nabla }}_{j}R{g}_{ik}-{\mathrm{\nabla }}_{k}R{g}_{ij}),$

где $R_{ij}$ — тензор Риччи и $R$ — скалярная кривизна

Про Тензор Коттона можно думать как про векторно-значную 2-форму.

Свойства

• Равенство нулю тензора Коттона для размерности $n=3$ является необходимым и достаточным условием того, что многообразие является конформно евклидовым.
  • В размерностях $n\ge 4$ аналогичным свойством обладает тензору Вейля.

Литература

• Cotton, É. Sur les variétés à trois dimensions // Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. — 1899. Архивировано 10 октября 2007 года.
• A. Garcia, F.W. Hehl, C. Heinicke, A. Macias. The Cotton tensor in Riemannian spacetimes // Classical and Quantum Gravity. — 2004. — № 21. — С. 1099—1118. — arXiv:gr-qc/0309008.